вправа 502 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

7 клас ➠ геометрія ➠ Мерзляк Полонський

Вправа 502

Розв'язання:

Дано:
АВС - рівнобедрений
АС - основа
АD, СЕ - бісектриси
Знайти:
АЕ = ЕD



Розглянемо ΔАВС.
В ньому АВ = ВС,
∠А = ∠С.
АD - бісектриса ∠А, \begin{equation}\angle BAD=\angle DAC=\end{equation} \begin{equation}=\frac{1}{2}\angle A\end{equation} СЕ - бісектриса ∠С, \begin{equation}\angle BCE=\angle ECA=\end{equation} \begin{equation}=\frac{1}{2}\angle C\end{equation} Нехай ∠ЕСА = х, тоді
∠С = ∠А = 2х.
В ΔСАЕ:
∠СЕА = 180° - (х + 2х) =
= 180° - 3х
В ΔАОЕ:
∠ЕОА = 180° - (180° - 3х + х) =
= 180° - 180° + 3х - х = 2х
∠ЕОА + ∠ЕОD = 180° - як суміжні
∠ЕОА = 180° - 2х
∠ЕОD - рівнобедрений
∠ОЕD = ∠ОDЕ = \begin{equation}=\frac{180^{\circ}(180^{\circ}-2x)}{2}=\end{equation} \begin{equation}=\frac{180^{\circ}-180^{\circ}+2x)}{2}=x,\end{equation} => ∠ЕАО = ∠ОDЕ,
=> ΔАЕD - рівнобедрений,
=> АЕ = ЕD.
Відповідь: АЕ = ЕD