вправа 556 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

Вправа 556


Розв'язання:


Дано:
ΔАВС
вписане коло
описане коло
О - центр кіл
Довести:
ΔАВС - рівносторонній



Центр описаного навколо трикутника кола - точка перетину серединних перпендикулярів його
сторін, то ΔАКО, ΔСКО, ΔСМО, ΔВМО, ΔВNО, ΔАNО - прямокутні.
Центр вписаного кола знаходиться в точці перетину бісектрис.
За умовою, центри вписаного й описаного кіл збігаються,
=> АО - бісектриса ∠А,
СО - бісектриса ∠С,
ВО - бісектриса ∠В.
ΔАКО = ΔANO - за гіпотенузою і гострим кутом,
=> АК = АN
АС = 2 • АК
АВ = 2АN,
=> АС = ВА
ΔВОN = ΔВОМ - за гіпотенузою і гострим кутом,
=> ВN = ВМ
ВС = 2 • ВМ
АВ = 2 • ВN
=> ВС = АВ,
=> АС = АВ = ВС,
=> ΔАВС - рівносторонній.
Відповідь: ΔАВС - рівносторонній