вправа 559 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

Вправа 559


Розв'язання:

Дано:
ΔАВС вписане коло
О - центр
∠А = 30°
∠В = 70°
∠С = 80°
т. К, Е, Р - точки дотику
Знайти:
кути ΔКРЕ


За наслідком 2 теореми 21.2: центр кола, вписаного в трикутник - це точка перетину бісектрис трикутника.
АО - бісектриса ∠А, \begin{equation} \angle KAO=\angle PAO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\angle A}{2}=15^{\circ} \end{equation} ВО - бісектриса ∠В, \begin{equation} \angle KBO=\angle OBE= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\angle B}{2}=35^{\circ} \end{equation} СО - бісектриса ∠С, \begin{equation} \angle PCO=\angle ECO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\angle C}{2}=40^{\circ} \end{equation} За умовою О - центр вписаного кола, тоді за властивістю дотичних, маємо:
ОК = ОЕ = ОР = R
(ОК ┴ АВ, ОЕ ┴ ВС, ОР ┴ АС).
Розглянемо ΔАКО і ΔАРО.
В них:
1. ∠АКО = ∠АРО = 90°
2. ОК = ОР = R
3. АО - спільна сторона,
ΔАКО = ΔАРО - за ознакою рівності прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою.
∠КОА = ∠РОА =
= 90° - 15° = 75°
∠КОР = ∠КОА + ∠РОА =
= 75° + 75° = 150°
∠КОР = 150гр
Розглянемо ΔКОР.
КО = ОР = R,
=> ΔКОР - рівнобедрений.
∠ОКР = ∠ОРК
∠ОКР = (180° - 150°) : 2 = 15°
Аналогічно, розглядаючи ΔКОЕ та ΔРОЕ, отримаємо:
∠КОЕ = 55° + 55° = 110°
∠ЕОР = 50° + 50° = 100°
∠ЕКО = ∠ОЕК =
= (180° - 110°) : 2 = 35°
∠ОЕР = ∠ОРЕ =
= (180° - 100°) : 2 = 40°
За основною властивістю величини кута, маємо:
∠ЕКР = ∠ЕКО + ∠ОКР =
= 15° + 35° = 50°
∠КРЕ = ∠КРО + ∠ОРЕ =
= 15° + 40° = 55°
∠КЕР = ∠КЕО + ∠ОЕР =
= 35° + 40° = 75°.
Відповідь: 50°; 55°; 75°