вправа 560 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

Вправа 560


Розв'язання:

Дано:
ΔАВС - рівнобедрений вписане коло
О - центр
т. М, N - точки дотику
Довести:
MN║AC


За умовою ΔАВС - рівнобедрений,
∠А = ∠С
АВ = ВС
Нехай ∠А = ∠С = х°
∠В + ∠А + ∠С = 180°
∠В = 180° - 2х°
Так, як О - центр вписаного кола,
то ВО - бісектриса ∠В,
∠МВО = ∠ОВN = ∠В : 2 = \begin{equation} =\frac{180^{\circ}-2x^{\circ}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2(90^{\circ}-x^{\circ})}{2}= \end{equation} \begin{equation} =90^{\circ}-x^{\circ}. \end{equation} МО = NО = R.
За властивістю дотичних до кола, маємо:
ОМ ┴ АВ,
ОN ┴ ВС.
Розглянемо ΔОВМ і ΔОNВ.
В них:
1. ∠ОМВ = ∠ОNВ = 90°
2. ОМ = ОN = R
3. ОВ - спільна сторона,
=> ΔОВМ = ΔОNВ,
=> ∠МОР = ∠NОР.
В ΔМОВ
∠ВМО = 90°
∠МОВ = 90° - (90° - х) =
= 90° - 90° + х° = х°
∠МОР = ∠РОN = х°
∠МОN = 2х°
В ΔМОN
ОМ = ОN,
=> ΔМОN - рівнобедрений.
∠ОМN = ∠ОNМ = \begin{equation} =\frac{180^{\circ}-2x^{\circ}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2(90^{\circ}-x^{\circ})}{2}= \end{equation} \begin{equation} =90^{\circ}-x^{\circ}. \end{equation} ∠РМВ = ∠ОМВ - ∠ОМР =
= 90° - (90° - х°) =
= 90° - 90° + х° = х°
∠А = х° та ∠РМВ = х°,
=> ∠А та ∠РМВ - відповідні кути.
Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні,
=> АС║МN.
Відповідь: АС║MN