вправа 715 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

Вправа 715

Розв'язання:

До підручника 2015 року:

Дано:
ΔАВС
АМ, СК - висоти т.О
ОК = ОМ
∠ВАМ = ∠АСК
Довести:
ΔАВС - рівносторонній



Розглянемо ΔАКО і ΔСМО.
В них:
1. ОК = ОМ - за умовою
2. ∠АОК = ∠МОС - як вертикальні кути,
=> ΔАКО = ΔСМО - за ознакою рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом,
=> ∠КАО = ∠МСО
АО = ОС
За умовою ∠ВАМ = ∠АСК, а
∠ВАМ = ∠МСК - за доведенням,
=> ∠АСК = ∠МСК
тоді СК ΔАВС є не тільки висотою, но і бісектрисою,
=> ΔАВС - рівнобедрений
АС = СВ
В ΔАОС
АО = ОС - за доведенням,
=> ΔАОС - рівнобедрений,
тому ∠ОАС = ∠ОСА
∠КАО = ∠ОСА,
=> ∠КАМ = ∠МАС
В ΔАВС
АМ не тільки висота, но і бісектриса,
ΔАВС - рівнобедрений
АВ = АС
Так, як АВ = АС і АС = СВ, то
АВ = АС = СВ,
=> ΔАВС - рівносторонній.
Відповідь: ΔАВС - рівносторонній