вправа 735 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

Вправа 735

Розв'язання:

До підручника 2015 року:

Дано:
коло
О - центр
∠F
FР - бісектриса
О ∈ FП
Довести:
рівність відрізків



Розглянемо ΔАОВ.
В ньому АО = ОВ = R,
=> ΔАОВ - рівнобедрений.
Проводимо висоту
ОМ ┴ АВ.
За властивістю рівнобедреного трикутника
ОМ - медіана,\begin{equation}AM=MB=\frac{1}{2}AB\end{equation}Розглянемо ΔСОD.
В ньому СО = ОD,
=> ΔСОD - рівнобедрений.
Проводимо висота
ОN ┴ СD.
ОN - медіана\begin{equation}CN=ND=\frac{1}{2}AB\end{equation}Розглянемо ΔFМО і ΔFNО.
В них:
1. ∠FМО = ∠FNО = 90°
2. ЕО - спільна сторона
3. ∠МFО = ∠NFО,
так як FО - бісектриса кута F
=> ΔFМО = ΔFNО - за ознакою рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою та гострим кутом,
=> ОМ = ОN
Розглянемо ΔВМО і ΔСNО.
В них:
1. ∠ВМО = ∠СNО = 90°
2. ВО = СО = R
3. ОМ = ОN - за доведенням
=> ΔВМО = ΔСNО - за ознакою рівності прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою
=> ВМ = СN, тоді
АВ = СD.
Відповідь: відрізки рівні