вправа 739 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

Вправа 739

Розв'язання:

До підручника 2015 року:

Дано:
коло
О - центр, вписаного кола в ΔАВС
АВ = ВС
т.D, т.Е - точки дотику
∠АВС = 48°
Знайти:
∠DОЕ



За умовою ΔАВС - рівнобедрений.
∠ВСА = ∠ВАС =\begin{equation}=\frac{180^{\circ}-\angle ABC}{2}=\end{equation}\begin{equation}=\frac{180^{\circ}-48^{\circ}}{}=66^{\circ}\end{equation}Центр вписаного кола знаходиться у точці перетину бісектрис кутів ΔАВС.
АО - бісектриса ∠А
∠ЕАО = ∠ОАD =\begin{equation}=\frac{1}{2}\angle A=\frac{66^{\circ}}{2}=33^{\circ}\end{equation}т.D і т.Е - точки дотику, тому
ОD ┴ АС
ОЕ ┴ АВ
Розглянемо ΔАЕО і ΔАDО.
В них:
1. ∠АЕО = ∠АDО = 90°
2. ОЕ = ОD = R
3. АО - спільна сторона
=> ΔАЕО = ΔАDО - за ознакою рівності прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою
=> ∠ЕОА = ∠DОА
З ΔАЕО:
∠АЕО = 90°
∠ЕОА = 90° - ∠ОАЕ =
= 90° - 33° = 57°
=> ∠ЕОА = ∠АОD = 57°
∠DОЕ = ∠DОА + ∠АОЕ
∠DОЕ = 57° + 57°
∠DОЕ = 114°.
Відповідь: 114°