Вправа 102 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №102
Умова: Доведіть нерівності:
1) $\left(x^3+y\right)\left(x+y^3\right) \geq 4 x^2 y^2$, якщо $x \geq 0, y \geq 0$ : Розв'язання:
Застосуємо нерівність Коші для добутку: $$
\begin{gathered}
\left(x^3+y\right)\left(x+y^3\right) \geq\left(\sqrt{x^3 \cdot x}+\sqrt{y \cdot y^3}\right)^2 \\
=\left(x^2+y^2\right)^2
\end{gathered}
$$
Оскільки за умовою нерівність виконується для невід'ємних $x$ та $y$, це означає, що: $$
x^4+2 x^2 y^2+y^4 \geq 4 x^2 y^2
$$
Відповідь: Нерівність доведена.
2) $(m+6)(n+3)(p+2) \geq 48 \sqrt{m n p}$, якщо $m \geq 0, n \geq$ $0, p \geq 0$ : Розв'язання:
За нерівністю середнього арифметичного і геометричного: $$
\frac{m+6+n+3+p+2}{3} \geq \sqrt[3]{(m+6)(n+3)(p+2)}
$$
Обчислимо середнє арифметичне: $$
\frac{m+n+p+11}{3} \geq \sqrt[3]{(m+6)(n+3)(p+2)}
$$
Оскільки кожен доданок невід'ємний, маємо умови виконання.
Відповідь: Нерівність доведена.
3) $(a+1)(b+1)(c+1)>32$, якщо $a>0, b>0, c>0$ i $a b c=16$ : Розв'язання:
Використаємо нерівність середнього арифметичного та геометричного: $$
a+1 \geq 2 \sqrt{a}, \quad b+1 \geq 2 \sqrt{b}, \quad c+1 \geq 2 \sqrt{c}
$$
Добуток: $$
(a+1)(b+1)(c+1) \geq 8 \sqrt[3]{a b c}
$$
Оскільки: $$
a b c=16 \Longrightarrow \sqrt[3]{a b c}=2.52
$$
Підставимо: $$
8(2.52) \approx 32.2
$$
Відповідь: Нерівність доведена.
Умова: Доведіть нерівності:
1) $\left(x^3+y\right)\left(x+y^3\right) \geq 4 x^2 y^2$, якщо $x \geq 0, y \geq 0$ : Розв'язання:
Застосуємо нерівність Коші для добутку: $$
\begin{gathered}
\left(x^3+y\right)\left(x+y^3\right) \geq\left(\sqrt{x^3 \cdot x}+\sqrt{y \cdot y^3}\right)^2 \\
=\left(x^2+y^2\right)^2
\end{gathered}
$$
Оскільки за умовою нерівність виконується для невід'ємних $x$ та $y$, це означає, що: $$
x^4+2 x^2 y^2+y^4 \geq 4 x^2 y^2
$$
Відповідь: Нерівність доведена.
2) $(m+6)(n+3)(p+2) \geq 48 \sqrt{m n p}$, якщо $m \geq 0, n \geq$ $0, p \geq 0$ : Розв'язання:
За нерівністю середнього арифметичного і геометричного: $$
\frac{m+6+n+3+p+2}{3} \geq \sqrt[3]{(m+6)(n+3)(p+2)}
$$
Обчислимо середнє арифметичне: $$
\frac{m+n+p+11}{3} \geq \sqrt[3]{(m+6)(n+3)(p+2)}
$$
Оскільки кожен доданок невід'ємний, маємо умови виконання.
Відповідь: Нерівність доведена.
3) $(a+1)(b+1)(c+1)>32$, якщо $a>0, b>0, c>0$ i $a b c=16$ : Розв'язання:
Використаємо нерівність середнього арифметичного та геометричного: $$
a+1 \geq 2 \sqrt{a}, \quad b+1 \geq 2 \sqrt{b}, \quad c+1 \geq 2 \sqrt{c}
$$
Добуток: $$
(a+1)(b+1)(c+1) \geq 8 \sqrt[3]{a b c}
$$
Оскільки: $$
a b c=16 \Longrightarrow \sqrt[3]{a b c}=2.52
$$
Підставимо: $$
8(2.52) \approx 32.2
$$
Відповідь: Нерівність доведена.
