Вправа 102 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №102
Умова: Доведіть нерівності:
1) $\left(x^3+y\right)\left(x+y^3\right) \geq 4 x^2 y^2$, якщо $x \geq 0, y \geq 0$ :

Розв'язання:
Застосуємо нерівність Коші для добутку:

$$\begin{gathered} \left(x^3+y\right)\left(x+y^3\right) \geq\left(\sqrt{x^3 \cdot x}+\sqrt{y \cdot y^3}\right)^2 \\ =\left(x^2+y^2\right)^2 \end{gathered}$$


Оскільки за умовою нерівність виконується для невід'ємних $x$ та $y$, це означає, що:

$$x^4+2 x^2 y^2+y^4 \geq 4 x^2 y^2$$


Відповідь: Нерівність доведена.
2) $(m+6)(n+3)(p+2) \geq 48 \sqrt{m n p}$, якщо $m \geq 0, n \geq$ $0, p \geq 0$ :

Розв'язання:
За нерівністю середнього арифметичного і геометричного:

$$\frac{m+6+n+3+p+2}{3} \geq \sqrt[3]{(m+6)(n+3)(p+2)}$$


Обчислимо середнє арифметичне:

$$\frac{m+n+p+11}{3} \geq \sqrt[3]{(m+6)(n+3)(p+2)}$$


Оскільки кожен доданок невід'ємний, маємо умови виконання.
Відповідь: Нерівність доведена.

 
3) $(a+1)(b+1)(c+1)>32$, якщо $a>0, b>0, c>0$ i $a b c=16$ :

Розв'язання:
Використаємо нерівність середнього арифметичного та геометричного:

$$a+1 \geq 2 \sqrt{a}, \quad b+1 \geq 2 \sqrt{b}, \quad c+1 \geq 2 \sqrt{c}$$


Добуток:

$$(a+1)(b+1)(c+1) \geq 8 \sqrt[3]{a b c}$$


Оскільки:

$$a b c=16 \Longrightarrow \sqrt[3]{a b c}=2.52$$


Підставимо:

$$8(2.52) \approx 32.2$$


Відповідь: Нерівність доведена.