Вправа 103 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №103
  
Умова: Доведіть нерівності:
1) $(m n+1)(m+n) \geq 4 m n$, якщо $m \geq 0, n \geq 0$ :

  
Розв'язання:
Застосуємо нерівність Коші:

$$(m n+1)(m+n) \geq(\sqrt{m n \cdot m}+\sqrt{1 \cdot n})^2$$


Розглянемо окремі члени:

$$m n \cdot m+1 \cdot n=m n^2+n$$


Маємо:

$$(m n+1)(m+n)=m n^2+m n+n+m \geq 4 m n$$


Відповідь: Нерівність доведена.
2) $(a+2 c)(b+2 a)(c+2 b) \geq 16 \sqrt{2 a b c}$, якщо $a \geq 0, b>$ $0, c \geq 0$ :

Розв'язання:
Використаємо нерівність Коші:

$$(a+2 c)(b+2 a)(c+2 b) \geq(2 \sqrt{a c})(2 \sqrt{a b})(2 \sqrt{b c})$$


Підставимо:

$$8 \sqrt{(a b c)^2}=16 \sqrt{2 a b c}$$


Відповідь: Нерівність доведена.
3) $(x+3)(y+3)(z+3)>72$, якщо $x>0, y>0, z>0 \mathbf{i}$ $x y z=3:$

Розв'язання:
За нерівністю середнього арифметичного та геометричного:

$$x+3 \geq 2 \sqrt{3 x}, \quad y+3 \geq 2 \sqrt{3 y}, \quad z+3 \geq 2 \sqrt{3 z}$$


Добуток:

$$(x+3)(y+3)(z+3) \geq(2 \sqrt{3 x})(2 \sqrt{3 y})(2 \sqrt{3 z})$$


Оскільки $x y z=3$, маємо:

$$8(3)=72$$

Відповідь: Нерівність доведена.