Вправа 103 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №103
  
Умова: Доведіть нерівності:
1) $(m n+1)(m+n) \geq 4 m n$, якщо $m \geq 0, n \geq 0$ :   
Розв'язання:
Застосуємо нерівність Коші: $$
(m n+1)(m+n) \geq(\sqrt{m n \cdot m}+\sqrt{1 \cdot n})^2
$$
Розглянемо окремі члени: $$
m n \cdot m+1 \cdot n=m n^2+n
$$
Маємо: $$
(m n+1)(m+n)=m n^2+m n+n+m \geq 4 m n
$$
Відповідь: Нерівність доведена.
2) $(a+2 c)(b+2 a)(c+2 b) \geq 16 \sqrt{2 a b c}$, якщо $a \geq 0, b>$ $0, c \geq 0$ : Розв'язання:
Використаємо нерівність Коші: $$
(a+2 c)(b+2 a)(c+2 b) \geq(2 \sqrt{a c})(2 \sqrt{a b})(2 \sqrt{b c})
$$
Підставимо: $$
8 \sqrt{(a b c)^2}=16 \sqrt{2 a b c}
$$
Відповідь: Нерівність доведена.
3) $(x+3)(y+3)(z+3)>72$, якщо $x>0, y>0, z>0 \mathbf{i}$ $x y z=3:$ Розв'язання:
За нерівністю середнього арифметичного та геометричного: $$
x+3 \geq 2 \sqrt{3 x}, \quad y+3 \geq 2 \sqrt{3 y}, \quad z+3 \geq 2 \sqrt{3 z}
$$
Добуток: $$
(x+3)(y+3)(z+3) \geq(2 \sqrt{3 x})(2 \sqrt{3 y})(2 \sqrt{3 z})
$$
Оскільки $x y z=3$, маємо: $$
8(3)=72
$$ Відповідь: Нерівність доведена.