Вправа 104 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №104
  
Умова: Доведіть нерівності:
1) $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \geq 4$, якщо $x>0, y>0$ :

  
Розв'язання:
За нерівністю середнього арифметичного і геометричного:

$$x+\frac{1}{x} \geq 2, \quad y+\frac{1}{y} \geq 2$$


Додаємо нерівності:

$$x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \geq 2+2=4$$


Відповідь: Нерівність доведена.
2) $\left(1+x+\frac{1}{x}\right)\left(1+y+\frac{1}{y}\right) \geq 9$, якщо $x>0, y>0$ :

Розв'язання:
Розглянемо кожний множник окремо:
За нерівністю Коші:

$$1+x+\frac{1}{x} \geq 3, \quad 1+y+\frac{1}{y} \geq 3$$


Тоді добуток:

$$\left(1+x+\frac{1}{x}\right)\left(1+y+\frac{1}{y}\right) \geq 3 \cdot 3=9$$


Відповідь: Нерівність доведена.