Вправа 107 алгебра Істер гдз 9 клас

Розв'язання:
  
Позначимо:

$$A=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$$

1. Розглянемо перший дріб:

Помножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз:

$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}{5-2}$$


Обчислимо чисельник:

$$(\sqrt{5})^2-2 \sqrt{5} \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5-2 \sqrt{10}+2=7-2 \sqrt{10}$$


Отже:

$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{7-2 \sqrt{10}}{3}$$

2. Розглянемо другий дріб:

Також помножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз:

$$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}{5-2}$$


Обчислимо чисельник:

$$(\sqrt{5})^2+2 \sqrt{5} \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5+2 \sqrt{10}+2=7+2 \sqrt{10}$$


Отже:

$$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{7+2 \sqrt{10}}{3}$$

3. Додаємо дроби:

$$A=\frac{7-2 \sqrt{10}}{3}+\frac{7+2 \sqrt{10}}{3}$$


Складемо чисельники:

$$\frac{7-2 \sqrt{10}+7+2 \sqrt{10}}{3}=\frac{14}{3}$$


Відповідь:

$$A=\frac{14}{3}$$