Вправа 114 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №114
  
Умова:
(Українська математична олімпіада, 1962 р.). Знайдіть значення виразу: $$
a^3+b^3+3\left(a^3 b+a b^3\right)+6\left(a^3 b^2+a^2 b^3\right)
$$
де $a$ і $b$ - корені рівняння: $$
x^2-x+q=0
$$
Розв'язання:
Розглянемо рівняння: $$
x^2-x+q=0
$$
Користуємося теоремою Вієта:
- Сума коренів: $a+b=1$.
- Добуток коренів: $a b=q$. Розглянемо заданий вираз:
1. Розпишемо члени виразу з використанням властивостей: $$
a^3+b^3=(a+b)\left((a+b)^2-3 a b\right)
$$
Звідси: $$
a^3+b^3=1\left(1^2-3 q\right)=1(1-3 q)=1-3 q
$$ 2. Розглянемо другу частину: $$
3\left(a^3 b+a b^3\right)=3 a b\left(a^2+b^2\right)
$$
Звідси: $$
a^2+b^2=(a+b)^2-2 a b=1^2-2 q=1-2 q
$$
Отже: $$
3(a b)\left((a+b)^2-a b\right)=3 q(1-2 q)=3 q-6 q^2
$$ 3. Третя частина: $$
6\left(a^3 b^2+a^2 b^3\right)=6(a b)(a b)(a+b)=6 q^2(1)=6 q^2
$$
Підсумуємо всі складові: $$
1-3 q+\left(3 q-6 q^2\right)+6 q^2=1
$$
Відповідь: 1