Вправа 114 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №114
  
Умова:
(Українська математична олімпіада, 1962 р.). Знайдіть значення виразу:

$$a^3+b^3+3\left(a^3 b+a b^3\right)+6\left(a^3 b^2+a^2 b^3\right)$$


де $a$ і $b$ - корені рівняння:

$$x^2-x+q=0$$


Розв'язання:
Розглянемо рівняння:

$$x^2-x+q=0$$


Користуємося теоремою Вієта:
- Сума коренів: $a+b=1$.
- Добуток коренів: $a b=q$.

Розглянемо заданий вираз:
1. Розпишемо члени виразу з використанням властивостей:

$$a^3+b^3=(a+b)\left((a+b)^2-3 a b\right)$$


Звідси:

$$a^3+b^3=1\left(1^2-3 q\right)=1(1-3 q)=1-3 q$$

2. Розглянемо другу частину:

$$3\left(a^3 b+a b^3\right)=3 a b\left(a^2+b^2\right)$$


Звідси:

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2 a b=1^2-2 q=1-2 q$$


Отже:

$$3(a b)\left((a+b)^2-a b\right)=3 q(1-2 q)=3 q-6 q^2$$

3. Третя частина:

$$6\left(a^3 b^2+a^2 b^3\right)=6(a b)(a b)(a+b)=6 q^2(1)=6 q^2$$


Підсумуємо всі складові:

$$1-3 q+\left(3 q-6 q^2\right)+6 q^2=1$$


Відповідь: 1