Вправа 124 алгебра Істер гдз 9 клас
Крок 1. Визначимо область допустимих значень:
Оскільки вираз містить $\frac{20}{x}$, то $x \neq 0$. Крок 2. Розглянемо два випадки залежно від знака $x$.
1. $x>0$. Тоді $\frac{20}{x}$ буде додатним ( $6020>0$ і $x>0$ ), а права частина $-8-$ від'ємна.
Додатне число завжди більше за від'ємне, тож $\frac{20}{x}<-8$ не може виконуватися для $x>0$.
Таким чином, жодних розв'язків у випадку $x>0$ немає.
2. $x<0$. Тоді $\frac{20}{x}$ є від'ємним. Щоб акуратно розв'язати, перепишемо нерівність так: $$
\frac{20}{x}<-8
$$
Найзручніше перенести все в один бік і звести до многочлена (уникаючи прямого множення на $x$ із зміною знака). Для цього помножимо обидві частини на $x^2$ (яке завжди $>0$. отже нерівність при цьому не змінює знак): $$
\frac{20}{x} \cdot x^2<-8 \cdot x^2 \quad \Longrightarrow \quad 20 x<-8 x^2
$$
Перенесемо все в один бік: $$
8 x^2+20 x<0
$$
Винесемо спільний множник: $$
4\left(2 x^2+5 x\right)<0 \quad \Longrightarrow \quad 2 x^2+5 x<0
$$
Розв'яжемо нерівність $2 x^2+5 x<0$. Факторизуємо: $$
x(2 x+5)<0
$$
Точки, де вираз змінює знак, - це $x=0$ і $x=-\frac{5}{2}$.
Отже, нерівність $x(2 x+5)<0$ виконується між цими коренями, тобто $$
-\frac{5}{2}<x<0
$$
Оскільки шукаємо цілі розв'язки, то серед цілих чисел, які належать проміжку $(-2.5,0)$, маємо $x=-1$ і $x=-2$.
Крок 3. Перевіримо знайдені значення:
- Для $x=-1$ : $$
\frac{20}{1}=-20 . \text { Дійсно, }-20<-8
$$ - Для $x=-2$ : $$
\frac{20}{2}=-10 . \text { Дійсно, }-10<-8
$$
Відповідь: цілими розв'язками нерівності $\frac{20}{x}<-8 є$ $$
x=-2 \text { i } x=-1
$$
Оскільки вираз містить $\frac{20}{x}$, то $x \neq 0$. Крок 2. Розглянемо два випадки залежно від знака $x$.
1. $x>0$. Тоді $\frac{20}{x}$ буде додатним ( $6020>0$ і $x>0$ ), а права частина $-8-$ від'ємна.
Додатне число завжди більше за від'ємне, тож $\frac{20}{x}<-8$ не може виконуватися для $x>0$.
Таким чином, жодних розв'язків у випадку $x>0$ немає.
2. $x<0$. Тоді $\frac{20}{x}$ є від'ємним. Щоб акуратно розв'язати, перепишемо нерівність так: $$
\frac{20}{x}<-8
$$
Найзручніше перенести все в один бік і звести до многочлена (уникаючи прямого множення на $x$ із зміною знака). Для цього помножимо обидві частини на $x^2$ (яке завжди $>0$. отже нерівність при цьому не змінює знак): $$
\frac{20}{x} \cdot x^2<-8 \cdot x^2 \quad \Longrightarrow \quad 20 x<-8 x^2
$$
Перенесемо все в один бік: $$
8 x^2+20 x<0
$$
Винесемо спільний множник: $$
4\left(2 x^2+5 x\right)<0 \quad \Longrightarrow \quad 2 x^2+5 x<0
$$
Розв'яжемо нерівність $2 x^2+5 x<0$. Факторизуємо: $$
x(2 x+5)<0
$$
Точки, де вираз змінює знак, - це $x=0$ і $x=-\frac{5}{2}$.
Отже, нерівність $x(2 x+5)<0$ виконується між цими коренями, тобто $$
-\frac{5}{2}<x<0
$$
Оскільки шукаємо цілі розв'язки, то серед цілих чисел, які належать проміжку $(-2.5,0)$, маємо $x=-1$ і $x=-2$.
Крок 3. Перевіримо знайдені значення:
- Для $x=-1$ : $$
\frac{20}{1}=-20 . \text { Дійсно, }-20<-8
$$ - Для $x=-2$ : $$
\frac{20}{2}=-10 . \text { Дійсно, }-10<-8
$$
Відповідь: цілими розв'язками нерівності $\frac{20}{x}<-8 є$ $$
x=-2 \text { i } x=-1
$$
