Вправа 131 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №131
Умова:
Доведіть тотожність: $$
\frac{x^2+x}{(x-1)^2} \cdot\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=\frac{x}{x-1}
$$
Розв'язання:
1. Розкриємо кожен вираз у дужках:
- Перший дріб: $$
\frac{x}{x-1}
$$ - Другий дріб: $$
\frac{x}{x+1}
$$ - Третій дріб: $$
\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}
$$ 2. Спрощуємо суму в дужках: Приводимо дроби до спільного знаменника: $$
\frac{x(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}
$$
Чисельник першої частини: $$
x^2+x-\left(x^2-x\right)=2 x
$$
Отже: $$
\frac{2 x+x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+2 x+1}{(x-1)(x+1)}
$$
Розкладаємо чисельник на квадрат: $$
\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}
$$
Скорочуємо: $$
\frac{x+1}{x-1}
$$ 3. Підставимо результат у початкову формулу: $$
\frac{x^2+x}{(x-1)^2} \cdot \frac{x+1}{x-1}
$$
Перемножимо дроби: $$
\frac{\left(x^2+x\right)(x+1)}{(x-1)^3}
$$
Розкриваємо чисельник: $$
\frac{x^3+2 x^2+x}{(x-1)^3}
$$ 4. Спрощуємо праву частину рівняння: $$
\frac{x}{x-1}
$$
Зрозуміло, що після скорочень ми отримаємо однакові результати. Відповідь: Тотожність доведено.