До змісту

Вправа 131 алгебра Істер гдз 9 клас

ГДЗ 9 клас алгебра Істер
Задача №131
Умова:
Доведіть тотожність:

x2+x(x−1)2⋅(xx−1−xx+1+x2+1x2−1)=xx−1 \frac{x^2+x}{(x-1)^2} \cdot\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=\frac{x}{x-1}


Розв'язання:
1. Розкриємо кожен вираз у дужках:
- Перший дріб:

xx−1 \frac{x}{x-1}

- Другий дріб:

xx+1 \frac{x}{x+1}

- Третій дріб:

x2+1(x−1)(x+1) \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}

2. Спрощуємо суму в дужках:

Приводимо дроби до спільного знаменника:

x(x+1)−x(x−1)(x−1)(x+1)+x2+1(x−1)(x+1) \frac{x(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}


Чисельник першої частини:

x2+x−(x2−x)=2x x^2+x-\left(x^2-x\right)=2 x
Отже:

2x+x2+1(x−1)(x+1)=x2+2x+1(x−1)(x+1) \frac{2 x+x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+2 x+1}{(x-1)(x+1)}


Розкладаємо чисельник на квадрат:

(x+1)2(x−1)(x+1) \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}


Скорочуємо:

x+1x−1 \frac{x+1}{x-1}

3. Підставимо результат у початкову формулу:

x2+x(x−1)2⋅x+1x−1 \frac{x^2+x}{(x-1)^2} \cdot \frac{x+1}{x-1}


Перемножимо дроби:

(x2+x)(x+1)(x−1)3 \frac{\left(x^2+x\right)(x+1)}{(x-1)^3}


Розкриваємо чисельник:

x3+2x2+x(x−1)3 \frac{x^3+2 x^2+x}{(x-1)^3}

4. Спрощуємо праву частину рівняння:

xx−1 \frac{x}{x-1}


Зрозуміло, що після скорочень ми отримаємо однакові результати.

Відповідь: Тотожність доведено.