Вправа 16 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №16
Умова: Порівняйте числа:
1. $\sqrt{5}-2 \mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{5}+2}$;
2. $\sqrt{7}+\sqrt{3} \mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.
   
Розв'язання:
1. Порівняємо $\sqrt{5}-2 \mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{5}+2}$.

Зведемо друге число до спільного знаменника, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$$


Обчислимо знаменник:

$$(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$$


Отже:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$$


Результат: обидва числа рівні.
2. Порівняємо $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ і $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.

Раціоналізуємо друге число:

$$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3}$$


Спрощуємо:

$$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$$


Порівнюемо:
Перше число $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ явно більше, ніж його четверта частина.
   
Відповідь:
1. Числа рівні.
2. $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ більше.