Вправа 17 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №17
Умова: Порівняйте числа:
1. $\sqrt{3}-1 \mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{3}+1}$;
2. $4+\sqrt{15} i \frac{1}{4-\sqrt{15}}$.
Розв'язання:
1. Порівняемо $\sqrt{3}-1 \mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{3+1}}$. Зведемо друге число до спільного знаменника, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз: $$
\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{1(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}
$$
Обчислимо знаменник: $$
(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2
$$
Отже: $$
\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
$$
Порівняємо: $$
\sqrt{3}-1>\frac{\sqrt{3}-1}{2}
$$
Очевидно, що лівий вираз більше, оскільки ділиться на менше число.
2. Порівняємо $4+\sqrt{15} \mathrm{i} \frac{1}{4-\sqrt{15}}$. Раціоналізуємо друге число: $$
\frac{1}{4-\sqrt{15}} \cdot \frac{4+\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}=\frac{4+\sqrt{15}}{16-15}
$$
Спрощуемо: $$
4+\sqrt{15}
$$
Порівнюємо: $$
4+\sqrt{15}>4+\sqrt{15}
$$
Числа рівні.
Відповідь:
1. $\sqrt{3}-1>\frac{1}{\sqrt{3}+1}$.
2. Числа рівні.
Умова: Порівняйте числа:
1. $\sqrt{3}-1 \mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{3}+1}$;
2. $4+\sqrt{15} i \frac{1}{4-\sqrt{15}}$.
Розв'язання:
1. Порівняемо $\sqrt{3}-1 \mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{3+1}}$. Зведемо друге число до спільного знаменника, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз: $$
\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{1(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}
$$
Обчислимо знаменник: $$
(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2
$$
Отже: $$
\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
$$
Порівняємо: $$
\sqrt{3}-1>\frac{\sqrt{3}-1}{2}
$$
Очевидно, що лівий вираз більше, оскільки ділиться на менше число.
2. Порівняємо $4+\sqrt{15} \mathrm{i} \frac{1}{4-\sqrt{15}}$. Раціоналізуємо друге число: $$
\frac{1}{4-\sqrt{15}} \cdot \frac{4+\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}=\frac{4+\sqrt{15}}{16-15}
$$
Спрощуемо: $$
4+\sqrt{15}
$$
Порівнюємо: $$
4+\sqrt{15}>4+\sqrt{15}
$$
Числа рівні.
Відповідь:
1. $\sqrt{3}-1>\frac{1}{\sqrt{3}+1}$.
2. Числа рівні.
