Вправа 21 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №21
  
Умова: Доведіть, що:
1. $x^3-3 x^2+x-3 \geq 0$, якщо $x \geq 3$;
2. $\frac{3}{a+3}>\frac{1}{a+1}$, якщо $a$ - додатне число.
  
Розв'язання:
1. $x^3-3 x^2+x-3 \geq 0$, якщо $x \geq 3$. Перевіримо при $x=3$ : $$
3^3-3(3)^2+3-3=0
$$
Знайдемо похідну: $$
f^{\prime}(x)=3 x^2-6 x+1
$$
Дискримінант: $$
D=(-6)^2-4(3)(1)=36-12=24
$$
Корені: $$
x=1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} .
$$
Для $x \geq 3$ функція зростає, отже, нерівність виконується.
2. $\frac{3}{a+3}>\frac{1}{a+1}$, якщо $a>0$. Зведемо до спільного знаменника: $$
\frac{3(a+1)}{(a+3)(a+1)}>\frac{1(a+3)}{(a+3)(a+1)} .
$$
Отримуємо: $$
3(a+1)>a+3
$$
Розкриємо дужки: $$
3 a+3>a+3
$$
Спростимо: $$
2 a>0
$$
Оскільки $a>0$, нерівність правильна.
   
Відповідь:
1. Нерівність правильна для $x \geq 3$.
2. Нерівність правильна для $a>0$.