Вправа 22 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №22
  
Умова: Доведіть, що:
1. $m^3+m^2+5 m+5 \geq 0$, якщо $m \geq-1$;
2. $\frac{p}{p+7}<\frac{p+1}{p+8}$, якщо $p$ - додатне число.
   
Розв'язання:
1. $m^3+m^2+5 m+5 \geq 0$, якщо $m \geq-1$. Перевіряємо при $m=-1$ : $$
(-1)^3+(-1)^2+5(-1)+5=-1+1-5+5=0
$$
Знайдемо похідну: $$
f^{\prime}(m)=3 m^2+2 m+5
$$
Дискримінант: $$
D=2^2-4(3)(5)=4-60=-56
$$
Оскільки дискримінант від'ємний, функція не має коренів, а парабола завжди додатна. Тому нерівність виконується для всіх $m \geq-1$.
2. $\frac{p}{p+7}<\frac{p+1}{p+8}$, якщо $p>0$. Зведемо до спільного знаменника: $$
\frac{p(p+8)}{(p+7)(p+8)}<\frac{(p+1)(p+7)}{(p+7)(p+8)}
$$
Рівняння чисельників: $$
p(p+8)<(p+1)(p+7)
$$
Розкриваємо дужки: $$
p^2+8 p<p^2+7 p+p+7
$$
Спрощуємо:
$8 p<8 p+7$.
Очевидно, що нерівність правильна для всіх додатних $p$.
   
Відповідь:
1. Нерівність правильна для $m \geq-1$.
2. Нерівність правильна для всіх додатних $p$.