Вправа 23 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №23
  
Умова: Доведіть нерівність:
1. $m^2+4 m+p^2+2 p+5 \geq 0$;
2. $a^2+b^2 \geq 4(a+b)-8$;
3. $m^2+n^2+1 \geq m+n+m n_{\text {; }}$
4. $a^2+b^2+c^2>2(a+b+c)-4$.
   
Розв'язання:
1. $m^2+4 m+p^2+2 p+5 \geq 0$.

Групуємо по змінних:

$$\left(m^2+4 m\right)+\left(p^2+2 p\right)+5 \geq 0$$


Додаємо і віднімаємо члени для повного квадрату:

$$\left[(m+2)^2-4\right]+\left[(p+1)^2-1\right]+5 \geq 0$$


Спрощуємо:

$$(m+2)^2+(p+1)^2 \geq 0$$


Сума квадратів завжди невід'ємна. Нерівність доведено.
2. $a^2+b^2 \geq 4(a+b)-8$.

Перенесемо все в одну сторону:

$$a^2+b^2-4 a-4 b+8 \geq 0$$


Групуємо і доповнюємо до квадратів:

$$\left(a^2-4 a+4\right)+\left(b^2-4 b+4\right) \geq 0$$


Отримаємо:

$$(a-2)^2+(b-2)^2 \geq 0$$


Сума квадратів завжди невід'ємна. Нерівність доведено.
3. $m^2+n^2+1 \geq m+n+m n$.

Перенесемо все в одну сторону:

$$m^2-m+n^2-n+1-m n \geq 0$$


Групуємо:

$$\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}(1-m n) \geq 0$$


Для будь-яких значень нерівність виконується. Нерівність доведено.
4. $a^2+b^2+c^2>2(a+b+c)-4$.

Перенесемо все в одну сторону:

$$a^2-2 a+b^2-2 b+c^2-2 c+4>0$$


Групуємо:

$$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2>0$$


Сума квадратів завжди додатна, оскільки кожен квадрат більше або дорівнює нулю, а рівність виключена. Нерівність доведено.
  
Відповідь:
Усі нерівності правильні для будь-яких значень змінних.