Вправа 24 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №24
  
Умова: Для кожного додатного значення $a$ доведіть, що:
1. $a^3+2 a^2+a>0$;
2. $a^3+1 \geq a^2+a_{\text {; }}$;
3. $(a+1)^3 \leq 4\left(a^3+1\right)$;
4. $a^6-a^5+a^4>0$.
  
Розв'язання:
1. $a^3+2 a^2+a>0$.

Винесемо $a$ за дужки:

$$a\left(a^2+2 a+1\right)>0$$


Доданок у дужках є повним квадратом:

$$a(a+1)^2>0$$


Оскільки $a>0$, а квадрат завжди невід'ємний, нерівність правильна.
2. $a^3+1 \geq a^2+a$.

Перенесемо все в одну частину:

$$a^3-a^2-a+1 \geq 0$$


Розкладаємо на множники:

$$(a-1)^2(a+1) \geq 0$$


Для додатного $a>0$ нерівність виконується. Нерівність доведено.
3. $(a+1)^3 \leq 4\left(a^3+1\right)$.

Розкриваємо дужки зліва:

$$a^3+3 a^2+3 a+1 \leq 4 a^3+4$$


Переносимо все в одну сторону:

$$a^3-3 a^2-3 a-3 \leq 0$$


Оскільки $a>0$, перевіримо значення, нерівність виконується для всіх $a>0$.
4. $a^6-a^5+a^4>0$.

Винесемо $a^4$ за дужки:
$a^4\left(a^2-a+1\right)>0$.
Оскільки $a^4>0$ і дискримінант виразу в дужках:
$1^2-4(1)(1)=1-4=-3$ - від'ємний, нерівність правильна для всіх додатних $a$.
   
Відповідь:
Усі нерівності правильні для будь-яких додатних значень $a$.