Вправа 25 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №25
   
Умова: Для кожного від'ємного значення $p$ доведіть, що:
1. $p^3+10 p^2+25 p \leq 0$;
2. $1-p^3>p-p^2$.
   
Розв'язання:
1. $p^3+10 p^2+25 p \leq 0$.

Винесемо $p$ за дужки:

$$p\left(p^2+10 p+25\right) \leq 0 .$$


Розглянемо квадратне рівняння в дужках:

$$p^2+10 p+25=(p+5)^2$$


Тоді:

$$p\left((p+5)^2\right) \leq 0$$


Оскільки $p<0 \mathrm{i}(p+5)^2 \geq 0$, добуток завжди непозитивний. Нерівність доведено.
2. $1-p^3>p-p^2$.

Перенесемо все в одну частину:

$$1-p^3-p+p^2>0$$


Перегрупуємо:

$$1+p^2-p-p^3>0$$


Для від'ємного $p$ :
$-p^3>0, p^2>0,-p>0$, і додавання 1 збільшує значення.
Отже, нерівність доведено.
   
Відповідь:
1. Нерівність правильна для всіх від'ємних $p$.
2. Нерівність правильна для всіх від'ємних $p$.