Вправа 25 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №25
   
Умова: Для кожного від'ємного значення $p$ доведіть, що:
1. $p^3+10 p^2+25 p \leq 0$;
2. $1-p^3>p-p^2$.
   
Розв'язання:
1. $p^3+10 p^2+25 p \leq 0$. Винесемо $p$ за дужки: $$
p\left(p^2+10 p+25\right) \leq 0 .
$$
Розглянемо квадратне рівняння в дужках: $$
p^2+10 p+25=(p+5)^2
$$
Тоді: $$
p\left((p+5)^2\right) \leq 0
$$
Оскільки $p<0 \mathrm{i}(p+5)^2 \geq 0$, добуток завжди непозитивний. Нерівність доведено.
2. $1-p^3>p-p^2$. Перенесемо все в одну частину: $$
1-p^3-p+p^2>0
$$
Перегрупуємо: $$
1+p^2-p-p^3>0
$$
Для від'ємного $p$ :
$-p^3>0, p^2>0,-p>0$, і додавання 1 збільшує значення.
Отже, нерівність доведено.
   
Відповідь:
1. Нерівність правильна для всіх від'ємних $p$.
2. Нерівність правильна для всіх від'ємних $p$.