Вправа 254 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №254
Умова:
При яких значеннях a обидва корені рівняння $$
x^2-(a+1) x-\left(a+2 a^2\right)=0
$$
менші від числа 1? Розв'язання:
1. Це квадратне рівняння має вигляд: $$
x^2-b x+c=0
$$
де $$
b=a+1, \quad c=-\left(a+2 a^2\right)
$$ 2. Скористаємося властивостями коренів квадратного рівняння (формули Виєта):
- Сума коренів: $$
x_1+x_2=b
$$ - Добуток коренів: $$
x_1 \cdot x_2=c
$$
Умова 1: Обидва корені менші за 1: $$
x_1<1 \quad \text { i } \quad x_2<1
$$ 1. Сума коренів менша за 2: $$
\begin{gathered}
x_1+x_2<2 \Rightarrow a+1<2 \\
a<1
\end{gathered}
$$ 2. Добуток коренів менший за 1: $$
\begin{gathered}
x_1 \cdot x_2<1 \Rightarrow-\left(a+2 a^2\right)<1 \\
-a(1+2 a)<1 \\
-2 a^2-a-1<0
\end{gathered}
$$
Розв'яжемо квадратне нерівність: $$
2 a^2+a+1>0
$$
Дискримінант: $$
D=1^2-4(2)(1)=1-8=-7
$$
Оскільки дискримінант від'ємний, нерівність виконується для всіх $a$.
Спільний розв'язок:
3 урахуванням усіх умов: $$
a<1
$$