Вправа 254 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №254
Умова:
При яких значеннях a обидва корені рівняння

$$x^2-(a+1) x-\left(a+2 a^2\right)=0$$


менші від числа 1?

Розв'язання:
1. Це квадратне рівняння має вигляд:

$$x^2-b x+c=0$$


де

$$b=a+1, \quad c=-\left(a+2 a^2\right)$$

2. Скористаємося властивостями коренів квадратного рівняння (формули Виєта):
- Сума коренів:

$$x_1+x_2=b$$

- Добуток коренів:

$$x_1 \cdot x_2=c$$
Умова 1: Обидва корені менші за 1:

$$x_1<1 \quad \text { i } \quad x_2<1$$

1. Сума коренів менша за 2:

$$\begin{gathered} x_1+x_2<2 \Rightarrow a+1<2 \\ a<1 \end{gathered}$$

2. Добуток коренів менший за 1:

$$\begin{gathered} x_1 \cdot x_2<1 \Rightarrow-\left(a+2 a^2\right)<1 \\ -a(1+2 a)<1 \\ -2 a^2-a-1<0 \end{gathered}$$


Розв'яжемо квадратне нерівність:

$$2 a^2+a+1>0$$


Дискримінант:

$$D=1^2-4(2)(1)=1-8=-7$$


Оскільки дискримінант від'ємний, нерівність виконується для всіх $a$.
Спільний розв'язок:
3 урахуванням усіх умов:

$$a<1$$