Вправа 255 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №255
Умова:
При яких значеннях $a$ обидва корені рівняння

$$x^2-(2 a+1) x+\left(a^2+a\right)=0$$


більші за число 3 ?

Розв'язання:
1. Це квадратне рівняння має вигляд:

$$x^2-b x+c=0$$


де

$$b=2 a+1, \quad c=a^2+a$$

2. Скористаємося властивостями коренів квадратного рівняння (формули Виєта):
- Сума коренів:

$$x_1+x_2=b$$

- Добуток коренів:

$$x_1 \cdot x_2=c$$
Умова 1: Обидва корені більші за 3.
1. Сума коренів більша за 6 :

$$\begin{gathered} x_1+x_2>6 \Rightarrow 2 a+1>6 \\ 2 a>5 \Rightarrow a>2.5 \end{gathered}$$

2. Добуток коренів більший за 9:

$$x_1 \cdot x_2>9 \Rightarrow a^2+a>9$$


Розв'яжемо квадратне нерівність:

$$a^2+a-9>0$$


Знаходимо корені квадратного рівняння:
Дискримінант:

$$D=1^2-4(1)(-9)=1+36=37$$


Корені:

$$a=\frac{-1 \pm \sqrt{37}}{2}$$


Приблизні значення:

$$\begin{gathered} a=\frac{-1+6.08}{2} \approx 2.54 \\ a=\frac{-1-6.08}{2} \approx-3.54 \end{gathered}$$


Розв'язок нерівності:

$$a<-3.54 \quad \text { або } \quad a>2.54$$


Спільний розв'язок:
3 урахуванням обох умов:

$$a>2.54$$


Відповідь:
При $a>2.54$ обидва корені рівняння більші за 3.