Вправа 26 алгебра Істер гдз 9 клас

Умова:
  
  Доведіть, що:
1. $\frac{7 a}{2 b}+\frac{8 b}{7 a} \geq 4$, якщо $a$ і $b$ - числа одного знака;
2. $\frac{3 m}{5 n}+\frac{5 n}{12 m} \leq-1$, якщо $m$ і $n-$ числа різних знаків.
   
Розв'язання:
1. $\frac{7 a}{2 b}+\frac{8 b}{7 a} \geq 4$.

Позначимо:

$$x=\frac{7 a}{2 b}, \quad y=\frac{8 b}{7 a}$$


Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним:

$$x+y \geq 2 \sqrt{x y}$$


Знайдемо добуток:

$$x y=\frac{7 a}{2 b} \cdot \frac{8 b}{7 a}=\frac{56 a b}{14 a b}=4$$


Тоді:

$$x+y \geq 2 \sqrt{4}=4$$


Нерівність доведено для чисел одного знака, оскільки $a$ і $b$ мають однаковий знак, а значить, $x y>0$.
2. $\frac{3 m}{5 n}+\frac{5 n}{12 m} \leq-1$.

Позначимо:

$$x=\frac{3 m}{5 n}, \quad y=\frac{5 n}{12 m}$$


Знаходимо добуток:

$$x y=\frac{3 m}{5 n} \cdot \frac{5 n}{12 m}=\frac{15 m n}{60 m n}=\frac{1}{4}$$


Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним:

$$x+y \leq-2 \sqrt{x y}$$


оскільки $m$ і $n$ різних знаків, тобто $x<0$ і $y<0$.

$$x+y \leq-2 \sqrt{\frac{1}{4}}=-1$$


Нерівність доведено.
    
Відповідь:
1. Нерівність правильна для чисел одного знака.
2. Нерівність правильна для чисел різних знаків.