Вправа 266 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №266
Умова: Доведіть нерівності:
1) $$
(m+1)^2 \geq 4 m
$$
Розв'язання:
Розкриємо дужки: $$
m^2+2 m+1 \geq 4 m
$$
Спростимо: $$
m^2-2 m+1 \geq 0
$$
Це повний квадрат: $$
(m-1)^2 \geq 0
$$
що завжди істинно.
Відповідь: Нерівність виконується для всіх $m$.
2) $$
(4 b-1)^2>-8 b
$$
Розв'язання:
Ліва частина - квадрат, тобто завжди $\geq 0$.
Права частина може бути від'ємною або додатною, але нерівність завжди виконується, оскільки квадрат не може бути меншим за від'ємне число. Відповідь: Нерівність виконується для всіх $b$.
3) $$
\frac{a^2+1}{2} \geq a
$$
Розв'язання:
Помножимо на 2: $$
a^2+1 \geq 2 a
$$
Перенесемо все вліво: $$
a^2-2 a+1 \geq 0
$$
Це повний квадрат: $$
(a-1)^2 \geq 0
$$
що завжди істинно.
Відповідь: Нерівність виконується для всіх $a$.
4) $$
\frac{m}{m^2+1} \leq \frac{1}{2}
$$
Розв'язання:
Помножимо на $2\left(m^2+1\right)$ (додатне): $$
2 m \leq m^2+1
$$
Перенесемо все вліво: $$
m^2-2 m+1 \geq 0
$$
Це повний квадрат: $$
(m-1)^2 \geq 0
$$
що завжди істинно.
Відповідь: Нерівність виконується для всіх $m$.