Вправа 266 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №266
Умова: Доведіть нерівності:
1)

$$(m+1)^2 \geq 4 m$$


Розв'язання:
Розкриємо дужки:

$$m^2+2 m+1 \geq 4 m$$


Спростимо:

$$m^2-2 m+1 \geq 0$$


Це повний квадрат:

$$(m-1)^2 \geq 0$$


що завжди істинно.
Відповідь: Нерівність виконується для всіх $m$.
2)

$$(4 b-1)^2>-8 b$$


Розв'язання:
Ліва частина - квадрат, тобто завжди $\geq 0$.
Права частина може бути від'ємною або додатною, але нерівність завжди виконується, оскільки квадрат не може бути меншим за від'ємне число.

Відповідь: Нерівність виконується для всіх $b$.
3)

$$\frac{a^2+1}{2} \geq a$$


Розв'язання:
Помножимо на 2:

$$a^2+1 \geq 2 a$$


Перенесемо все вліво:

$$a^2-2 a+1 \geq 0$$


Це повний квадрат:

$$(a-1)^2 \geq 0$$


що завжди істинно.
Відповідь: Нерівність виконується для всіх $a$.
4)

$$\frac{m}{m^2+1} \leq \frac{1}{2}$$


Розв'язання:
Помножимо на $2\left(m^2+1\right)$ (додатне):

$$2 m \leq m^2+1$$


Перенесемо все вліво:

$$m^2-2 m+1 \geq 0$$


Це повний квадрат:

$$(m-1)^2 \geq 0$$


що завжди істинно.
Відповідь: Нерівність виконується для всіх $m$.