Вправа 268 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №268
Умова: Доведіть нерівності: $^{\text {м }}$ о
1)

$$m^2+n^2-2 m-4 n+5 \geq 0$$


Розв'язання:
1. Групуємо вираз за змінними:

$$\left(m^2-2 m\right)+\left(n^2-4 n\right)+5 \geq 0$$

2. Доповнимо до повного квадрату:
- Для $m$ :

$$m^2-2 m=(m-1)^2-1$$

- Для $n$ :

$$n^2-4 n=(n-2)^2-4 .$$

3. Перепишемо:

$$(m-1)^2-1+(n-2)^2-4+5 \geq 0$$

4. Спрощуємо:

$$(m-1)^2+(n-2)^2 \geq 0$$


Оскільки сума квадратів завжди невід'ємна, нерівність доведена.
Відповідь: Виконується для всіх $m, n$.
2)

$$2 x^2-10 x y+25 y^2 \geq 0$$


Розв'язання:
1. Це квадратна форма:

Перевіримо дискримінант щодо $x$ :

$$D=b^2-4 a c$$


де:

$$a=2, \quad b=-10 y, \quad c=25 y^2$$

2. Обчислюємо:

$$\begin{gathered} D=(-10 y)^2-4(2)\left(25 y^2\right) \\ D=100 y^2-200 y^2=-100 y^2 \end{gathered}$$

3. Оскільки дискримінант від'ємний ( $D<0$ ), то квадратна форма завжди додатна або рівна нулю.

Відповідь: Нерівність виконується для всіх $x, y$.

Підсумок:
1. Виконується для всіх $m, n$.
2. Виконується для всіх $x, y$.