Вправа 268 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №268
Умова: Доведіть нерівності: $^{\text {м }}$ о
1) $$
m^2+n^2-2 m-4 n+5 \geq 0
$$
Розв'язання:
1. Групуємо вираз за змінними: $$
\left(m^2-2 m\right)+\left(n^2-4 n\right)+5 \geq 0
$$ 2. Доповнимо до повного квадрату:
- Для $m$ : $$
m^2-2 m=(m-1)^2-1
$$ - Для $n$ : $$
n^2-4 n=(n-2)^2-4 .
$$ 3. Перепишемо: $$
(m-1)^2-1+(n-2)^2-4+5 \geq 0
$$ 4. Спрощуємо: $$
(m-1)^2+(n-2)^2 \geq 0
$$
Оскільки сума квадратів завжди невід'ємна, нерівність доведена.
Відповідь: Виконується для всіх $m, n$.
2) $$
2 x^2-10 x y+25 y^2 \geq 0
$$
Розв'язання:
1. Це квадратна форма: Перевіримо дискримінант щодо $x$ : $$
D=b^2-4 a c
$$
де: $$
a=2, \quad b=-10 y, \quad c=25 y^2
$$ 2. Обчислюємо: $$
\begin{gathered}
D=(-10 y)^2-4(2)\left(25 y^2\right) \\
D=100 y^2-200 y^2=-100 y^2
\end{gathered}
$$ 3. Оскільки дискримінант від'ємний ( $D<0$ ), то квадратна форма завжди додатна або рівна нулю. Відповідь: Нерівність виконується для всіх $x, y$. Підсумок:
1. Виконується для всіх $m, n$.
2. Виконується для всіх $x, y$.
Умова: Доведіть нерівності: $^{\text {м }}$ о
1) $$
m^2+n^2-2 m-4 n+5 \geq 0
$$
Розв'язання:
1. Групуємо вираз за змінними: $$
\left(m^2-2 m\right)+\left(n^2-4 n\right)+5 \geq 0
$$ 2. Доповнимо до повного квадрату:
- Для $m$ : $$
m^2-2 m=(m-1)^2-1
$$ - Для $n$ : $$
n^2-4 n=(n-2)^2-4 .
$$ 3. Перепишемо: $$
(m-1)^2-1+(n-2)^2-4+5 \geq 0
$$ 4. Спрощуємо: $$
(m-1)^2+(n-2)^2 \geq 0
$$
Оскільки сума квадратів завжди невід'ємна, нерівність доведена.
Відповідь: Виконується для всіх $m, n$.
2) $$
2 x^2-10 x y+25 y^2 \geq 0
$$
Розв'язання:
1. Це квадратна форма: Перевіримо дискримінант щодо $x$ : $$
D=b^2-4 a c
$$
де: $$
a=2, \quad b=-10 y, \quad c=25 y^2
$$ 2. Обчислюємо: $$
\begin{gathered}
D=(-10 y)^2-4(2)\left(25 y^2\right) \\
D=100 y^2-200 y^2=-100 y^2
\end{gathered}
$$ 3. Оскільки дискримінант від'ємний ( $D<0$ ), то квадратна форма завжди додатна або рівна нулю. Відповідь: Нерівність виконується для всіх $x, y$. Підсумок:
1. Виконується для всіх $m, n$.
2. Виконується для всіх $x, y$.
