Вправа 269 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №269
Умова: Порівняйте вирази:
1) Порівняйте: $$
a^3-b^3 \quad \text { i } \quad a b(b-a)
$$
якщо $a \geq b$.
Розв'язання:
Розкладемо куби різниці: $$
a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)
$$
Розкладемо другий вираз: $$
a b(b-a)=-a b(a-b)
$$
Порівняємо їх: $$
a^3-b^3-a b(b-a)=(a-b)\left(a^2+a b+b^2+a b\right) .
$$
Спростимо: $$
(a-b)\left(a^2+2 a b+b^2\right)=(a-b)(a+b)^2
$$
Висновок:
- Якщо $a>b$, то: $$
a^3-b^3>a b(b-a)
$$
Відповідь: $$
a^3-b^3>a b(b-a) \text { при } a \geq b .
$$
2) Порівняйте: $$
m^2+n^2 \quad \text { i } \quad \frac{1}{2}
$$
якщо $m+n=1$.
Розв'язання:
Знайдемо мінімум для суми квадратів: $$
m^2+n^2=(m+n)^2-2 m n
$$
Підставимо умову: $$
1^2-2 m n=1-2 m n
$$
Потрібно порівняти: $$
1-2 m n \quad \text { i } \quad \frac{1}{2}
$$
Розв'язуємо нерівність: $$
\begin{gathered}
1-2 m n \geq \frac{1}{2} \\
1-\frac{1}{2} \geq 2 m n \\
\frac{1}{2} \geq 2 m n \\
\frac{1}{4} \geq m n
\end{gathered}
$$
Оскільки $m n \leq \frac{1}{4}$ за нерівністю Коші, то вираз завжди виконується. Відповідь: $$
m^2+n^2 \geq \frac{1}{2}
$$
Підсумок:
1. $a^3-b^3>a b(b-a)$.
2. $m^2+n^2 \geq \frac{1}{2}$.