Вправа 269 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №269
Умова: Порівняйте вирази:
1)

Порівняйте:

$$a^3-b^3 \quad \text { i } \quad a b(b-a)$$


якщо $a \geq b$.
Розв'язання:
Розкладемо куби різниці:

$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)$$


Розкладемо другий вираз:

$$a b(b-a)=-a b(a-b)$$


Порівняємо їх:

$$a^3-b^3-a b(b-a)=(a-b)\left(a^2+a b+b^2+a b\right) .$$


Спростимо:

$$(a-b)\left(a^2+2 a b+b^2\right)=(a-b)(a+b)^2$$


Висновок:
- Якщо $a>b$, то:

$$a^3-b^3>a b(b-a)$$


Відповідь:

$$a^3-b^3>a b(b-a) \text { при } a \geq b .$$
2)

Порівняйте:

$$m^2+n^2 \quad \text { i } \quad \frac{1}{2}$$


якщо $m+n=1$.
Розв'язання:
Знайдемо мінімум для суми квадратів:

$$m^2+n^2=(m+n)^2-2 m n$$


Підставимо умову:

$$1^2-2 m n=1-2 m n$$


Потрібно порівняти:

$$1-2 m n \quad \text { i } \quad \frac{1}{2}$$


Розв'язуємо нерівність:

$$\begin{gathered} 1-2 m n \geq \frac{1}{2} \\ 1-\frac{1}{2} \geq 2 m n \\ \frac{1}{2} \geq 2 m n \\ \frac{1}{4} \geq m n \end{gathered}$$


Оскільки $m n \leq \frac{1}{4}$ за нерівністю Коші, то вираз завжди виконується.

Відповідь:

$$m^2+n^2 \geq \frac{1}{2}$$


Підсумок:
1. $a^3-b^3>a b(b-a)$.
2. $m^2+n^2 \geq \frac{1}{2}$.