Вправа 27 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №27
  
Умова: Доведіть, що:
1. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$, якщо $a>0, b>0$;
2. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \leq-2$, якщо $a<0, b>0$.
    
Розв'язання:
1. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$, якщо $a>0, b>0$.

Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним:

$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$$


Позначимо $x=\frac{a}{b}$ і $y=\frac{b}{a}$. Тоді:

$$x+y \geq 2 \sqrt{x y}$$


Знайдемо добуток:

$$x y=\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=1$$


Отже:

$$x+y \geq 2 \sqrt{1}=2$$


Нерівність доведено.
2. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \leq-2$, якщо $a<0, b>0$.

Позначимо $x=\frac{a}{b}$ і $y=\frac{b}{a}$.
Тоді $x<0$ і $y<0$.
Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним для від'ємних чисел:

$$x+y \leq-2 \sqrt{x y}$$


Знайдемо добуток:

$$x y=\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=1$$


Тоді:

$$x+y \leq-2 \sqrt{1}=-2$$


Нерівність доведено.
   
Відповідь:
1. Нерівність правильна для $a>0, b>0$.
2. Нерівність правильна для $a<0, b>0$.