Вправа 270 алгебра Істер гдз 9 клас

Нехай швидкість першого велосипедиста дорівнює $v$ (км/год). Тоді:
- Час, витрачений першим велосипедистом на весь шлях (туди й назад зі сталою швидкістю $v$ ):

$$T_1=\frac{20}{v}+\frac{20}{v}=\frac{40}{v}$$

- Швидкість другого велосипедиста «туди» становить $(v+1)$, а «назад» -$(v-1)$. Тоді його загальний час дорівнює:

$$T_2=\frac{20}{v+1}+\frac{20}{v-1}$$


Щоб порівняти $T_1$ і $T_2$, зведемо $T_2$ до спільного знаменника:

$$T_2=20\left(\frac{1}{v+1}+\frac{1}{v-1}\right)=20 \cdot \frac{(v-1)+(v+1)}{(v+1)(v-1)}=20 \cdot \frac{2 v}{v^2-1}=\frac{40 v}{v^2-1}$$


Тепер порівняємо $T_1=\frac{40}{v}$ із $T_2=\frac{40 v}{v^2-1}$. Розглянемо різницю:

$$T_2-T_1=\frac{40 v}{v^2-1}-\frac{40}{v}=\frac{40 v^2-40\left(v^2-1\right)}{v\left(v^2-1\right)}=\frac{40 v^2-40 v^2+40}{v\left(v^2-1\right)}=\frac{40}{v\left(v^2-1\right)}$$


Для $v>1$ знаменник $v\left(v^2-1\right) є$ додатним, отже $\frac{40}{v\left(v^2-1\right)}>0$. Це означає

$$T_2-T_1>0 \Rightarrow T_2>T_1$$


Висновок: перший велосипедист (із постійною швидкістю $v$ туди й назад) витрачає менше часу, ніж другий.