Вправа 271 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №271
Умова:
Порівняйте площу квадрата зі стороною 6 см із площею довільного прямокутника, що має такий самий периметр, як у квадрата.

Розв'язання:
1. Знайдемо периметр квадрата:

Сторона квадрата:

$$a=6 \mathrm{~cm}$$


Периметр:

$$P=4 a=4(6)=24 \mathrm{~cm}$$

2. Площа квадрата:

$$S_{\mathrm{KB}}=a^2=6^2=36 \mathrm{~cm}^2$$

3. Розглянемо довільний прямокутник з таким периметром: Периметр прямокутника:

$$P=2(l+w)=24$$


де $l$ - довжина, $w$ - ширина.
Розв'язуємо рівняння:

$$l+w=12$$

4. Площа прямокутника:

$$S_{\mathrm{mp}}=l \cdot w$$


Виразимо $w$ :

$$w=12-l$$
Площа:

$$\begin{gathered} S_{\text {пр }}=l(12-l) . \\ S_{\text {пр }}=12 l-l^2 . \end{gathered}$$

5. Знайдемо максимум площі:

Це квадратична функція 3 максимумом у вершині параболи:

$$l=-\frac{b}{2 a}=-\frac{12}{-2}=6$$


При $l=6:$

$$w=12-6=6 .$$


Максимальна площа:

$$S_{\text {np }}=6 \cdot 6=36 \mathrm{~cm}^2$$


Висновок:
Площа квадрата завжди не менша, ніж площа будь-якого прямокутника з таким самим периметром. Максимальна площа прямокутника досягається, коли він є квадратом.

Відповідь:
Площа квадрата дорівнює або більша за площу будь-якого прямокутника 3 таким самим периметром.