Вправа 28 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №28
   
Умова: Порівняйте значення виразів $m^3+n^3$ і $m n(m+n)$, якщо $m$ і $n$ - додатні числа, $m \neq n$.
    
Розв'язання:
1. Розглянемо різницю виразів:

$$m^3+n^3-m n(m+n)$$

2. Розкладемо суму кубів за формулою:

$$m^3+n^3=(m+n)\left(m^2-m n+n^2\right)$$


Підставимо в різницю:

$$(m+n)\left(m^2-m n+n^2\right)-m n(m+n)$$


Винесемо $m+n$ за дужки:

$$(m+n)\left(m^2-m n+n^2-m n\right)$$


Спрощуємо всередині дужок:

$$(m+n)\left(m^2-2 m n+n^2\right)$$

3. Вираз у дужках є повним квадратом:

$$(m+n)\left((m-n)^2\right)$$

4. Оскільки $m \neq n$ і обидва числа додатні, маємо:

$$(m-n)^2>0 \quad \text { i } \quad m+n>0$$


Тому:

$$m^3+n^3>m n(m+n)$$
   

Відповідь:

$$m^3+n^3>m n(m+n), \quad \text { якщо } \quad m, n>0 \quad \text { i } \quad m \neq n .$$