Вправа 289 алгебра Істер гдз 9 клас

1)

Доведення:

$$(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4$$


де $x>0, y>0$.
Розв'язання:
Розкриємо дужки:

$$(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right)=(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}\right)+(x+2 y)\left(\frac{1}{y}\right) .$$


Обчислимо кожен доданок:
1. Перший доданок:

$$\frac{x}{2 x}+\frac{2 y}{2 x}=\frac{1}{2}+\frac{y}{x}$$

2. Другий доданок:

$$\frac{x}{y}+\frac{2 y}{y}=\frac{x}{y}+2$$


Підсумуємо:

$$\frac{1}{2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+2$$


Застосуємо нерівність Коші-Буняковського для середнього гармонічного:

$$\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geq 2$$


Підставимо оцінку:

$$\frac{1}{2}+2+2=4.5$$


Отже,

$$(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4$$


Відповідь:
Нерівність доведена.
2)

Доведення:

$$\left(\frac{1}{m^2}+p n\right)\left(\frac{4}{p^2}+m n\right)\left(\frac{9}{n^2}+p m\right) \geq 48$$


де $m>0, n>0, p>0$.
Розв'язання:
Позначимо окремі множники:
1. Перший множник:

$$\frac{1}{m^2}+p n \geq 2 \sqrt{\frac{p n}{m^2}}$$


за нерівністю Коші.
2. Другий множник:

$$\frac{4}{p^2}+m n \geq 2 \sqrt{\frac{4 m n}{p^2}}$$

3. Третій множник:

$$\frac{9}{n^2}+p m \geq 2 \sqrt{\frac{9 p m}{n^2}}$$


Перемножимо оцінки:

$$2 \sqrt{\frac{p n}{m^2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{4 m n}{p^2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{9 p m}{n^2}}$$
Розрахуємо множники:
- Перший:

$$\frac{2 \sqrt{p n}}{m}$$

- Другий:

$$\frac{4 \sqrt{m n}}{p}$$

- Третій:

$$\frac{6 \sqrt{p m}}{n}$$


Перемножимо:

$$\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sqrt{p^2 n^2 m^2}}{m p n}$$


Скоротимо:
48.

Відповідь:
Нерівність доведена.

Підсумок:
1. Нерівність доведена.
2. Нерівність доведена.