Вправа 289 алгебра Істер гдз 9 клас
1)
Доведення:
$$
(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4
$$
де $x>0, y>0$.
Розв'язання:
Розкриємо дужки: $$
(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right)=(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}\right)+(x+2 y)\left(\frac{1}{y}\right) .
$$
Обчислимо кожен доданок:
1. Перший доданок: $$
\frac{x}{2 x}+\frac{2 y}{2 x}=\frac{1}{2}+\frac{y}{x}
$$ 2. Другий доданок: $$
\frac{x}{y}+\frac{2 y}{y}=\frac{x}{y}+2
$$
Підсумуємо: $$
\frac{1}{2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+2
$$
Застосуємо нерівність Коші-Буняковського для середнього гармонічного: $$
\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geq 2
$$
Підставимо оцінку: $$
\frac{1}{2}+2+2=4.5
$$
Отже, $$
(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4
$$
Відповідь:
Нерівність доведена.
2) Доведення: $$
\left(\frac{1}{m^2}+p n\right)\left(\frac{4}{p^2}+m n\right)\left(\frac{9}{n^2}+p m\right) \geq 48
$$
де $m>0, n>0, p>0$.
Розв'язання:
Позначимо окремі множники:
1. Перший множник: $$
\frac{1}{m^2}+p n \geq 2 \sqrt{\frac{p n}{m^2}}
$$
за нерівністю Коші.
2. Другий множник: $$
\frac{4}{p^2}+m n \geq 2 \sqrt{\frac{4 m n}{p^2}}
$$ 3. Третій множник: $$
\frac{9}{n^2}+p m \geq 2 \sqrt{\frac{9 p m}{n^2}}
$$
Перемножимо оцінки: $$
2 \sqrt{\frac{p n}{m^2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{4 m n}{p^2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{9 p m}{n^2}}
$$
Розрахуємо множники:
- Перший: $$
\frac{2 \sqrt{p n}}{m}
$$ - Другий: $$
\frac{4 \sqrt{m n}}{p}
$$ - Третій: $$
\frac{6 \sqrt{p m}}{n}
$$
Перемножимо: $$
\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sqrt{p^2 n^2 m^2}}{m p n}
$$
Скоротимо:
48. Відповідь:
Нерівність доведена. Підсумок:
1. Нерівність доведена.
2. Нерівність доведена.
(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4
$$
де $x>0, y>0$.
Розв'язання:
Розкриємо дужки: $$
(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right)=(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}\right)+(x+2 y)\left(\frac{1}{y}\right) .
$$
Обчислимо кожен доданок:
1. Перший доданок: $$
\frac{x}{2 x}+\frac{2 y}{2 x}=\frac{1}{2}+\frac{y}{x}
$$ 2. Другий доданок: $$
\frac{x}{y}+\frac{2 y}{y}=\frac{x}{y}+2
$$
Підсумуємо: $$
\frac{1}{2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+2
$$
Застосуємо нерівність Коші-Буняковського для середнього гармонічного: $$
\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geq 2
$$
Підставимо оцінку: $$
\frac{1}{2}+2+2=4.5
$$
Отже, $$
(x+2 y)\left(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4
$$
Відповідь:
Нерівність доведена.
2) Доведення: $$
\left(\frac{1}{m^2}+p n\right)\left(\frac{4}{p^2}+m n\right)\left(\frac{9}{n^2}+p m\right) \geq 48
$$
де $m>0, n>0, p>0$.
Розв'язання:
Позначимо окремі множники:
1. Перший множник: $$
\frac{1}{m^2}+p n \geq 2 \sqrt{\frac{p n}{m^2}}
$$
за нерівністю Коші.
2. Другий множник: $$
\frac{4}{p^2}+m n \geq 2 \sqrt{\frac{4 m n}{p^2}}
$$ 3. Третій множник: $$
\frac{9}{n^2}+p m \geq 2 \sqrt{\frac{9 p m}{n^2}}
$$
Перемножимо оцінки: $$
2 \sqrt{\frac{p n}{m^2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{4 m n}{p^2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{9 p m}{n^2}}
$$
Розрахуємо множники:
- Перший: $$
\frac{2 \sqrt{p n}}{m}
$$ - Другий: $$
\frac{4 \sqrt{m n}}{p}
$$ - Третій: $$
\frac{6 \sqrt{p m}}{n}
$$
Перемножимо: $$
\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sqrt{p^2 n^2 m^2}}{m p n}
$$
Скоротимо:
48. Відповідь:
Нерівність доведена. Підсумок:
1. Нерівність доведена.
2. Нерівність доведена.
