Вправа 310 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №310
Умова: При яких значеннях $a$ рівняння:
1. $a x^2+2(a+1) x+(a+3)=0$ не має коренів;
2. $a x^2-(2 a+1) x+(a+2)=0$ має два різних корені?
1) Рівняння не має коренів:

Рівняння не має коренів, якщо дискримінант $D<0$.
Записуємо дискримінант для першого рівняння:

$$D=b^2-4 a c$$


Коефіцієнти:
- $a=a$
- $b=2(a+1)$
- $c=a+3$

Підставляємо:

$$D=[2(a+1)]^2-4(a)(a+3)$$


Розраховуємо:

$$\begin{gathered} D=4\left(a^2+2 a+1\right)-4\left(a^2+3 a\right) \\ D=4 a^2+8 a+4-4 a^2-12 a \\ D=-4 a+4 \end{gathered}$$


Умова:

$$\begin{gathered} -4 a+4<0 \\ 4<4 a \\ a>1 \end{gathered}$$


Відповідь для 1): $a>1$.
2) Рівняння має два різних корені:

Рівняння має два різних корені, якщо $D>0$.
Записуємо дискримінант для другого рівняння:
Коефіцієнти:
- $a=a$
- $b=-(2 a+1)$
- $c=a+2$

$$D=[-(2 a+1)]^2-4(a)(a+2)$$


Розраховуємо:

$$\begin{gathered} D=\left(4 a^2+4 a+1\right)-4\left(a^2+2 a\right) \\ D=4 a^2+4 a+1-4 a^2-8 a \\ D=-4 a+1 \end{gathered}$$


Умова:

$$\begin{gathered} -4 a+1>0 \\ 1>4 a \\ a<\frac{1}{4} \end{gathered}$$


Відповідь для 2): $a<\frac{1}{4}$.

Загальні відповіді:
1. $a>1$.
2. $a<\frac{1}{4}$.