Вправа 310 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №310
Умова: При яких значеннях $a$ рівняння:
1. $a x^2+2(a+1) x+(a+3)=0$ не має коренів;
2. $a x^2-(2 a+1) x+(a+2)=0$ має два різних корені?
1) Рівняння не має коренів: Рівняння не має коренів, якщо дискримінант $D<0$.
Записуємо дискримінант для першого рівняння: $$
D=b^2-4 a c
$$
Коефіцієнти:
- $a=a$
- $b=2(a+1)$
- $c=a+3$ Підставляємо: $$
D=[2(a+1)]^2-4(a)(a+3)
$$
Розраховуємо: $$
\begin{gathered}
D=4\left(a^2+2 a+1\right)-4\left(a^2+3 a\right) \\
D=4 a^2+8 a+4-4 a^2-12 a \\
D=-4 a+4
\end{gathered}
$$
Умова: $$
\begin{gathered}
-4 a+4<0 \\
4<4 a \\
a>1
\end{gathered}
$$
Відповідь для 1): $a>1$.
2) Рівняння має два різних корені: Рівняння має два різних корені, якщо $D>0$.
Записуємо дискримінант для другого рівняння:
Коефіцієнти:
- $a=a$
- $b=-(2 a+1)$
- $c=a+2$ $$
D=[-(2 a+1)]^2-4(a)(a+2)
$$
Розраховуємо: $$
\begin{gathered}
D=\left(4 a^2+4 a+1\right)-4\left(a^2+2 a\right) \\
D=4 a^2+4 a+1-4 a^2-8 a \\
D=-4 a+1
\end{gathered}
$$
Умова: $$
\begin{gathered}
-4 a+1>0 \\
1>4 a \\
a<\frac{1}{4}
\end{gathered}
$$
Відповідь для 2): $a<\frac{1}{4}$. Загальні відповіді:
1. $a>1$.
2. $a<\frac{1}{4}$.