Вправа 311 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №311
Умова: Розв'яжіть нерівність для всіх значень $a$ :
1) Нерівність:

$$5+a x \geq a-3 x$$


Розв'язуємо:
Переносимо всі доданки з $x$ :

$$\begin{aligned} & a x+3 x \geq a-5 \\ & x(a+3) \geq a-5 \end{aligned}$$


Випадки:
1. Якщо $a=-3$ :

$$0 \geq a-5 \Rightarrow 0 \geq-8$$


Це неправда, отже, нерівність не має розв'язків для $a=-3$.
2. Якщо $a \neq-3$ :

$$x \geq \frac{a-5}{a+3}$$


Відповідь:

$$x \geq \frac{a-5}{a+3}, \quad a \neq-3$$
2) Нерівність:

$$3(a-x)<9-a x$$


Розкриваємо дужки:

$$\begin{aligned} & 3 a-3 x<9-a x \\ & 3 a-9<3 x-a x \\ & 3 a-9<x(3-a) \end{aligned}$$


Випадки:
1. Якщо $a=3$ :

$$3 a-9<0$$


Це неправда.
2. Якщо $a \neq 3$ :

$$x>\frac{3 a-9}{3-a}$$


Відповідь:

$$x>\frac{3 a-9}{3-a}, \quad a \neq 3$$

3) Нерівність:

$$(a+1) x>a^2-1$$


Випадки:
1. Якщо $a=-1$ :

$$0>a^2-1 \Rightarrow 0>0$$


Немає розв'язків.
2. Якщо $a \neq-1$ :

$$x>\frac{a^2-1}{a+1}$$


Відповідь:

$$x>a-1, \quad a \neq-1$$
4) Нерівність:

$$\left(a^2-4\right) x \leq a-2$$


Випадки:
1. Якщо $a^2-4=0$ :

$$x \leq 0$$

2. Якщо $a^2-4 \neq 0$ :

$$x \leq \frac{a-2}{a^2-4}$$


Відповідь:

$$x \leq \frac{a-2}{a^2-4}, \quad a \neq \pm 2$$


Загальні відповіді:
1. $x \geq \frac{a-5}{a+3}, \quad a \neq-3$.
2. $x>\frac{3 a-9}{3-a}, \quad a \neq 3$.
3. $x>a-1, \quad a \neq-1$.
4. $x \leq \frac{a-2}{a^2-4}, \quad a \neq \pm 2$.