Вправа 324 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №324
Умова: Знайдіть значення $a$, при яких один 3 коренів рівняння $$
x^2+x+\left(a-a^2\right)=0
$$
менший від нуля, а другий - більший за 0.5 .
Розв'язання:
1. Розглянемо рівняння: $$
x^2+x+\left(a-a^2\right)=0
$$
Коефіцієнти:
- $A=1$
- $B=1$
- $C=a-a^2$
2. Знайдемо дискримінант: $$
\begin{gathered}
D=B^2-4 A C \\
D=1^2-4(1)\left(a-a^2\right) \\
D=1-4\left(a-a^2\right) \\
D=1-4 a+4 a^2 \\
D=4 a^2-4 a+1
\end{gathered}
$$
Дискримінант повинен бути невід'ємним для існування коренів: $$
4 a^2-4 a+1 \geq 0
$$
Цей квадратний тричлен завжди невід'ємний, оскільки його дискримінант дорівнює 0 : $$
D=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0
$$
Тому рівняння має два дійсні корені.
3. Знайдемо корені: $$
\begin{gathered}
x_{1,2}=\frac{-B \pm \sqrt{D}}{2 A} \\
x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{4 a^2-4 a+1}}{2}
\end{gathered}
$$
4. Умови на корені:
- Перший корінь $x_1<0$ : $$
\frac{-1-\sqrt{4 a^2-4 a+1}}{2}<0
$$
Розв'яжемо нерівність: $$
\begin{gathered}
-1-\sqrt{4 a^2-4 a+1}<0 \\
\sqrt{4 a^2-4 a+1}>-1
\end{gathered}
$$
Це завжди виконується, бо квадратний корінь не може бути від'ємним.
- Другий корінь $x_2>0.5$ : $$
\frac{-1+\sqrt{4 a^2-4 a+1}}{2}>0.5
$$
Помножимо на 2: $$
\begin{gathered}
-1+\sqrt{4 a^2-4 a+1}>1 \\
\sqrt{4 a^2-4 a+1}>2
\end{gathered}
$$
Піднесемо до квадрата: $$
\begin{aligned}
& 4 a^2-4 a+1>4 \\
& 4 a^2-4 a-3>0
\end{aligned}
$$
Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
4 a^2-4 a-3=0
$$
Дискримінант: $$
\begin{gathered}
D=(-4)^2-4(4)(-3) \\
D=16+48=64
\end{gathered}
$$
Корені: $$
\begin{gathered}
a=\frac{4 \pm 8}{8} \\
a=\frac{12}{8}=1.5, \quad a=\frac{-4}{8}=-0.5
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
a \in(-\infty ;-0.5) \cup(1.5 ;+\infty)
$$