Вправа 324 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №324
Умова: Знайдіть значення $a$, при яких один 3 коренів рівняння

$$x^2+x+\left(a-a^2\right)=0$$


менший від нуля, а другий - більший за 0.5 .
Розв'язання:
1. Розглянемо рівняння:

$$x^2+x+\left(a-a^2\right)=0$$


Коефіцієнти:
- $A=1$
- $B=1$
- $C=a-a^2$
2. Знайдемо дискримінант:

$$\begin{gathered} D=B^2-4 A C \\ D=1^2-4(1)\left(a-a^2\right) \\ D=1-4\left(a-a^2\right) \\ D=1-4 a+4 a^2 \\ D=4 a^2-4 a+1 \end{gathered}$$


Дискримінант повинен бути невід'ємним для існування коренів:

$$4 a^2-4 a+1 \geq 0$$


Цей квадратний тричлен завжди невід'ємний, оскільки його дискримінант дорівнює 0 :

$$D=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$$


Тому рівняння має два дійсні корені.
3. Знайдемо корені:

$$\begin{gathered} x_{1,2}=\frac{-B \pm \sqrt{D}}{2 A} \\ x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{4 a^2-4 a+1}}{2} \end{gathered}$$
4. Умови на корені:
- Перший корінь $x_1<0$ :

$$\frac{-1-\sqrt{4 a^2-4 a+1}}{2}<0$$


Розв'яжемо нерівність:

$$\begin{gathered} -1-\sqrt{4 a^2-4 a+1}<0 \\ \sqrt{4 a^2-4 a+1}>-1 \end{gathered}$$


Це завжди виконується, бо квадратний корінь не може бути від'ємним.
- Другий корінь $x_2>0.5$ :

$$\frac{-1+\sqrt{4 a^2-4 a+1}}{2}>0.5$$


Помножимо на 2:

$$\begin{gathered} -1+\sqrt{4 a^2-4 a+1}>1 \\ \sqrt{4 a^2-4 a+1}>2 \end{gathered}$$


Піднесемо до квадрата:

$$\begin{aligned} & 4 a^2-4 a+1>4 \\ & 4 a^2-4 a-3>0 \end{aligned}$$


Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$4 a^2-4 a-3=0$$


Дискримінант:

$$\begin{gathered} D=(-4)^2-4(4)(-3) \\ D=16+48=64 \end{gathered}$$


Корені:

$$\begin{gathered} a=\frac{4 \pm 8}{8} \\ a=\frac{12}{8}=1.5, \quad a=\frac{-4}{8}=-0.5 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$a \in(-\infty ;-0.5) \cup(1.5 ;+\infty)$$