Вправа 325 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №325
Умова: Знайдіть, при яких значеннях $a$ обидва корені квадратного рівняння $$
6 x^2+(5 a+2) x+\left(a^2+a\right)=0
$$
належать проміжку $[-4 ; 0]$. Розв'язання:
1. Коефіцієнти рівняння:
- $A=6$
- $B=5 a+2$
- $C=a^2+a$
2. Умова існування коренів - дискримінант: $$
D=B^2-4 A C
$$
Обчислюємо: $$
\begin{gathered}
D=(5 a+2)^2-4(6)\left(a^2+a\right) \\
D=\left(25 a^2+20 a+4\right)-4\left(6 a^2+6 a\right) \\
D=25 a^2+20 a+4-24 a^2-24 a \\
D=a^2-4 a+4
\end{gathered}
$$
Знайдемо умову для існування дійсних коренів: $$
D \geq 0
$$
Розв'яжемо нерівність: $$
(a-2)^2 \geq 0
$$
Це завжди виконується ( $D \geq 0$ ), тому корені існують.
3. Умова належності коренів до проміжку $[-4 ; 0]$ : Нехай корені $-x_1$ і $x_2$. Використаємо формули Вієта: $$
x_1+x_2=-\frac{B}{A}, \quad x_1 x_2=\frac{C}{A}
$$
Сума коренів: $$
x_1+x_2=-\frac{5 a+2}{6}
$$
Добуток коренів: $$
x_1 x_2=\frac{a^2+a}{6}
$$
Умова 1: Обидва корені $\leq 0$ : $$
x_1 \leq 0 \quad \text { i } \quad x_2 \leq 0
$$
Сума коренів (не додатна): $$
\begin{gathered}
-\frac{5 a+2}{6} \leq 0 \\
5 a+2 \geq 0 \\
5 a \geq-2 \\
a \geq-\frac{2}{5}
\end{gathered}
$$
Умова 2: Обидва корені $\geq-4$ :
Сума коренів (не менша за -8): $$
\begin{gathered}
-\frac{5 a+2}{6} \geq-8 \\
-(5 a+2) \geq-48 \\
-5 a-2 \geq-48 \\
-5 a \geq-46 \\
a \leq 9.2
\end{gathered}
$$
Умова 3: Додатково перевіримо добуток коренів: $$
\frac{a^2+a}{6} \geq 0
$$
Звідси: $$
a(a+1) \geq 0
$$
Корені: $$
a \in[-1 ; 0] \cup[0 ;+\infty)
$$
Перетин умов: $$
\begin{gathered}
a \in\left[-\frac{2}{5} ; 9.2\right] \cap[-1 ; 0] \\
a \in[-1 ; 0]\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
a \in[-1 ; 0]$$