Вправа 325 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №325
Умова: Знайдіть, при яких значеннях $a$ обидва корені квадратного рівняння

$$6 x^2+(5 a+2) x+\left(a^2+a\right)=0$$


належать проміжку $[-4 ; 0]$.

Розв'язання:
1. Коефіцієнти рівняння:
- $A=6$
- $B=5 a+2$
- $C=a^2+a$
2. Умова існування коренів - дискримінант:

$$D=B^2-4 A C$$


Обчислюємо:

$$\begin{gathered} D=(5 a+2)^2-4(6)\left(a^2+a\right) \\ D=\left(25 a^2+20 a+4\right)-4\left(6 a^2+6 a\right) \\ D=25 a^2+20 a+4-24 a^2-24 a \\ D=a^2-4 a+4 \end{gathered}$$


Знайдемо умову для існування дійсних коренів:

$$D \geq 0$$


Розв'яжемо нерівність:

$$(a-2)^2 \geq 0$$


Це завжди виконується ( $D \geq 0$ ), тому корені існують.
3. Умова належності коренів до проміжку $[-4 ; 0]$ :

Нехай корені $-x_1$ і $x_2$. Використаємо формули Вієта:

$$x_1+x_2=-\frac{B}{A}, \quad x_1 x_2=\frac{C}{A}$$


Сума коренів:

$$x_1+x_2=-\frac{5 a+2}{6}$$


Добуток коренів:

$$x_1 x_2=\frac{a^2+a}{6}$$


Умова 1: Обидва корені $\leq 0$ :

$$x_1 \leq 0 \quad \text { i } \quad x_2 \leq 0$$


Сума коренів (не додатна):

$$\begin{gathered} -\frac{5 a+2}{6} \leq 0 \\ 5 a+2 \geq 0 \\ 5 a \geq-2 \\ a \geq-\frac{2}{5} \end{gathered}$$


Умова 2: Обидва корені $\geq-4$ :
Сума коренів (не менша за -8):

$$\begin{gathered} -\frac{5 a+2}{6} \geq-8 \\ -(5 a+2) \geq-48 \\ -5 a-2 \geq-48 \\ -5 a \geq-46 \\ a \leq 9.2 \end{gathered}$$
Умова 3: Додатково перевіримо добуток коренів:

$$\frac{a^2+a}{6} \geq 0$$


Звідси:

$$a(a+1) \geq 0$$


Корені:

$$a \in[-1 ; 0] \cup[0 ;+\infty)$$


Перетин умов:

$$\begin{gathered} a \in\left[-\frac{2}{5} ; 9.2\right] \cap[-1 ; 0] \\ a \in[-1 ; 0] \end{gathered}$$


Відповідь:

$$a \in[-1 ; 0]$$