Вправа 357 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №357
Умова: Скільки коренів рівняння

$$x^3+x^2-4 x-4=0$$


є розв'язками нерівності

$$x^2-4<0 ?$$


Розв'язання:
1. Дослідимо нерівність:

$$x^2-4<0$$


Розв'яжемо:

$$\begin{gathered} x^2<4 \\ -2<x<2 \end{gathered}$$


Отже, шукаємо корені рівняння, які лежать у проміжку $(-2 ; 2)$.
2. Знайдемо корені рівняння:

Розв'яжемо кубічне рівняння:

$$x^3+x^2-4 x-4=0$$


Спробуємо знайти цілі корені методом підстановки.
- $\quad x=1$ :

$$1^3+1^2-4(1)-4=1+1-4-4=-6 \quad(\neq 0)$$

- $x=-1$ :

$$(-1)^3+(-1)^2-4(-1)-4=-1+1+4-4=0$$


Корінь: $x=-1$.
Поділимо рівняння на $x+1$ :
Розділимо:

$$x^3+x^2-4 x-4=(x+1)\left(x^2-4\right)$$


Розклад:

$$(x+1)(x-2)(x+2)=0$$


Корені:

$$x=-1, \quad x=-2, \quad x=2$$

3. Перевіримо умову нерівності:
- $x=-1:-2<-1<2-$ підходить.
- $x=-2$ : Не підходить, оскільки лежить на межі проміжку.
- $\quad x=2$ : Не підходить, 6 о лежить на межі.