Вправа 412 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №412
Умова: $^{\text {м }}$
$x_1$ і $x_2$-корені рівняння:

$$x^2-6 x+3=0$$


Не розв'язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:

$$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2} .$$


Розв'язання:
1. Застосуємо теорему Вієта:
- Сума коренів:

$$x_1+x_2=6$$

- Добуток коренів:

$$x_1 \cdot x_2=3$$

2. Знайдемо вираз:

$$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$$


Застосуємо формулу:

$$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1 x_2}$$

3. 3 найдемо $x_1^2+x_2^2$ :

$$x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2$$


Підставимо відомі значення:

$$\begin{gathered} x_1^2+x_2^2=6^2-2(3) \\ x_1^2+x_2^2=36-6=30 \end{gathered}$$

4. Обчислимо вираз:

$$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{30}{3}=10$$


Відповідь:

$$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=10$$