Вправа 447 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №447
Умова:
Доведіть, що всі точки параболи:
1. $y=x^2-2 x+3$ лежать вище осі $x$;
2. $y=-x^2-4 x-5$ лежать нижче осі $x$.

Розв'язання:
1. Функція $y=x^2-2 x+3$
1. Знайдемо дискримінант:

$$\begin{gathered} D=(-2)^2-4(1)(3) \\ D=4-12=-8 \end{gathered}$$


Висновок:
Оскільки дискримінант $D<0$, рівняння не має коренів.
Графік параболи не перетинає вісь $x$.
2. Вершина параболи:

$$\begin{gathered} x_0=-\frac{-2}{2(1)}=1 \\ y_0=(1)^2-2(1)+3=1-2+3=2 \end{gathered}$$


Висновок:
Оскільки $a=1>0$ (гілки вгору) і $y_0>0$, парабола повністю лежить вище oci $x$.
2. Функція $y=-x^2-4 x-5$
1. Знайдемо дискримінант:

$$\begin{gathered} D=(-4)^2-4(-1)(-5) \\ D=16-20=-4 \end{gathered}$$


Висновок:
Оскільки дискримінант $D<0$, рівняння не має коренів.
Графік параболи не перетинає вісь $x$.
2. Вершина параболи:

$$\begin{gathered} x_0=-\frac{-4}{2(-1)}=-2 \\ y_0=-(-2)^2-4(-2)-5 \\ y_0=-4+8-5=-1 \end{gathered}$$


Висновок:
Оскільки $a=-1<0$ (гілки вниз) і $y_0<0$, парабола повністю лежить нижче oci $x$.

Відповідь:
1. Всі точки параболи $y=x^2-2 x+3$ лежать вище осі $x$.
2. Всі точки параболи $y=-x^2-4 x-5$ лежать нижче осі $x$.