Вправа 501 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №501
Умова: Розв'яжіть нерівність:

Розв'язання:
1) $4 x(x-1) \leq 3:$

Розкриємо дужки:

$$4 x^2-4 x-3 \leq 0$$


Знайдемо корені:

$$\begin{gathered} D=(-4)^2-4(4)(-3)=16+48=64 \\ x=\frac{4 \pm \sqrt{64}}{2(4)} \\ x=\frac{4 \pm 8}{8} \\ x_1=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}, \quad x_2=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$


Знаки визначаємо методом інтервалів:
Розв'язок:

$$x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$$
2) $(x+2)^2<2 x(x+3)+5$ :

Розкриємо дужки:

$$x^2+4 x+4<2 x^2+6 x+5$$


Перенесемо в одну сторону:

$$\begin{gathered} x^2+4 x+4-2 x^2-6 x-5<0 \\ -x^2-2 x-1<0 \end{gathered}$$


Помножимо на -1 :

$$x^2+2 x+1>0$$


Знайдемо корені:

$$(x+1)^2>0$$


Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то:

$$x \neq-1$$


Розв'язок:

$$x \in(-\infty,-1) \cup(-1,+\infty)$$


Відповідь:
1. $x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$
2. $x \in(-\infty,-1) \cup(-1,+\infty)$