Вправа 507 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №507
Умова: Розв'яжіть нерівність:
1. $\frac{x^2 8 x+15}{(x-4)^2} \leq 0$
2. $\frac{x^2+x-2}{x-2}>0$.

Розв'язання:
1) Розв'язуємо першу нерівність:

Нерівність:

$$\frac{x^2-8 x+15}{(x-4)^2} \leq 0$$

1. Знаходимо нулі чисельника:

$$x^2-8 x+15=0$$


Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$x=\frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{2}=\frac{8 \pm 2}{2}$$


Корені:

$$x=3 \quad \text { i } \quad x=5$$

2. Досліджуємо знаменник:

$$(x-4)^2>0 \quad \forall x \neq 4$$

3. Розглядаємо знаки чисельника: На проміжках:
- $x \in(-\infty, 3)-$ додатній,
- $x \in(3,5)-$ від'ємний,
- $x \in(5,+\infty)$ - додатній.
4. Знаходимо розв'язок: Нерівність $\leq 0$ виконується там, де вираз від'ємний або дорівнює 0 . Це:

$$x \in[3,5], x \neq 4$$


Відповідь до 1):

$$x \in[3,4) \cup(4,5]$$
2) Розв'язуємо другу нерівність:

Нерівність:

$$\frac{x^2+x-2}{|x-2|}>0$$

1. Знаходимо нулі чисельника:

$$x^2+x-2=0$$


Розв'язуємо:

$$x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2}$$


Корені:

$$x=1 \quad \text { i } \quad x=-2$$

2. Досліджуємо знаменник:

$$|x-2|>0, \quad x \neq 2$$

3. Знаходимо знаки виразу: Розглядаємо область:
- $x \in(-\infty,-2)$ : додатній.
- $x \in(-2,1)$ : від'ємний.
- $x \in(1,2)$ : додатній.
- $x \in(2,+\infty)$ : від'ємний.
4. Розв'язок нерівності: Вираз додатний на проміжках:

$$x \in(-\infty,-2) \cup(1,2)$$


Відповідь до 2):

$$x \in(-\infty,-2) \cup(1,2)$$