Вправа 509 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №509
Умова: Знайдіть область визначення функції: $$
y=\frac{1}{\sqrt{x^2-16}}+\sqrt{8 x-x^2-15}
$$
Розв'язання:
1. Аналіз першого виразу: $$
\frac{1}{\sqrt{x^2-16}}
$$
Радикал у знаменнику визначений і строго додатний: $$
x^2-16>0
$$
Розв'язуємо нерівність: $$
x^2>16
$$
Звідси: $$
x>4 \quad \text { або } \quad x<-4
$$ 2. Аналіз другого виразу: $$
\sqrt{8 x-x^2-15}
$$
Радикал існує, якщо вираз під коренем невід'ємний: $$
8 x-x^2-15 \geq 0
$$
Розв'язуємо квадратну нерівність:
$$
-x^2+8 x-15 \geq 0
$$
Розв'язуємо рівняння: $$
-x^2+8 x-15=0
$$
Знаходимо корені: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-8 \pm \sqrt{64-60}}{-2} . \\
x=\frac{-8 \pm 2}{-2} . \\
x=5 \quad \text { i } \quad x=3 .
\end{gathered}
$$
Знаходимо проміжки: $$
3 \leq x \leq 5
$$ 3. Перетин умов:
1. Для першого виразу: $$
x>4 \quad \text { або } \quad x<-4
$$ 2. Для другого виразу: $$
x \in[3,5] .
$$
Перетин: $$
x \in[4,5] .
$$
Відповідь: $$
x \in[4,5] .
$$
Розглядаємо квадратну нерівність: $$
-x^2+3 x+4>0
$$
Перепишемо: $$
-x^2+3 x+4=0
$$
Знайдемо корені: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{-2} \\
x=\frac{-3 \pm 5}{-2} \\
x=1 \quad \text { i } \quad x=-4
\end{gathered}
$$
Досліджуємо знаки на проміжках:
- При $x \in(-\infty,-4)$ - додатний.
- При $x \in(-4,1)$ - додатний.
- При $x \in(1,+\infty)$ - від'ємний. Звідси: $$
-4<x<1
$$ 3. Перетин умов: Потрібно врахувати перетин множин: $$
\begin{aligned}
x & \leq-3 \quad \text { або } \quad x \geq 3 \\
-4 & <x<1
\end{aligned}
$$
Перетин не містить спільних значень. Отже, єдина допустима область: $$
x \in[-3,-4) \cup(1,3]$$
Відповідь: $$
x \in[-3,-4) \cup(1,3]$$