До змісту

Вправа 509 алгебра Істер гдз 9 клас

ГДЗ 9 клас алгебра Істер
Задача №509
Умова: Знайдіть область визначення функції:

y=1x2−16+8x−x2−15 y=\frac{1}{\sqrt{x^2-16}}+\sqrt{8 x-x^2-15}


Розв'язання:
1. Аналіз першого виразу:

1x2−16 \frac{1}{\sqrt{x^2-16}}


Радикал у знаменнику визначений і строго додатний:

x2−16>0 x^2-16>0


Розв'язуємо нерівність:

x2>16 x^2>16


Звідси:

x>4 або x<−4 x>4 \quad \text { або } \quad x<-4

2. Аналіз другого виразу:

8x−x2−15 \sqrt{8 x-x^2-15}


Радикал існує, якщо вираз під коренем невід'ємний:

8x−x2−15≥0 8 x-x^2-15 \geq 0


Розв'язуємо квадратну нерівність:
−x2+8x−15≥0 -x^2+8 x-15 \geq 0


Розв'язуємо рівняння:

−x2+8x−15=0 -x^2+8 x-15=0


Знаходимо корені:

x=−8±64−60−2.x=−8±2−2.x=5 i x=3. \begin{gathered} x=\frac{-8 \pm \sqrt{64-60}}{-2} . \\ x=\frac{-8 \pm 2}{-2} . \\ x=5 \quad \text { i } \quad x=3 . \end{gathered}


Знаходимо проміжки:

3≤x≤5 3 \leq x \leq 5

3. Перетин умов:
1. Для першого виразу:

x>4 або x<−4 x>4 \quad \text { або } \quad x<-4

2. Для другого виразу:

x∈[3,5]. x \in[3,5] .


Перетин:

x∈[4,5]. x \in[4,5] .


Відповідь:

x∈[4,5]. x \in[4,5] .
Розглядаємо квадратну нерівність:

−x2+3x+4>0 -x^2+3 x+4>0


Перепишемо:

−x2+3x+4=0 -x^2+3 x+4=0


Знайдемо корені:

x=−3±9+16−2x=−3±5−2x=1 i x=−4 \begin{gathered} x=\frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{-2} \\ x=\frac{-3 \pm 5}{-2} \\ x=1 \quad \text { i } \quad x=-4 \end{gathered}


Досліджуємо знаки на проміжках:
- При x∈(−∞,−4)x \in(-\infty,-4) - додатний.
- При x∈(−4,1)x \in(-4,1) - додатний.
- При x∈(1,+∞)x \in(1,+\infty) - від'ємний.

Звідси:

−4<x<1 -4<x<1

3. Перетин умов:

Потрібно врахувати перетин множин:

x≤−3 або x≥3−4<x<1 \begin{aligned} x & \leq-3 \quad \text { або } \quad x \geq 3 \\ -4 & <x<1 \end{aligned}


Перетин не містить спільних значень. Отже, єдина допустима область:

x∈[−3,−4)∪(1,3] x \in[-3,-4) \cup(1,3]


Відповідь:

x∈[−3,−4)∪(1,3] x \in[-3,-4) \cup(1,3]