Вправа 510 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №510
Умова: При яких значеннях $a$ рівняння не має коренів:
1. $x^2-(a-2) x+4=0$;
2. $(a+1) x^2+5 a x+3 a=0$ ?

Розв'язання:
1) Рівняння:

$$x^2-(a-2) x+4=0$$


Квадратне рівняння не має коренів, якщо дискримінант $D<0$.
Обчислимо дискримінант:

$$D=b^2-4 a c$$


де:

$$a=1, b=-(a-2), c=4$$


$$\begin{gathered} D=[-(a-2)]^2-4(1)(4) . \\ D=(a-2)^2-16 . \end{gathered}$$


Умова відсутності коренів:

$$\begin{gathered} D<0 \\ (a-2)^2-16<0 \\ (a-2)^2<16 \end{gathered}$$


Розв'язуємо нерівність:

$$\begin{gathered} -4<a-2<4 \\ -4+2<a<4+2 \\ -2<a<6 \end{gathered}$$
2) Рівняння:

$$(a+1) x^2+5 a x+3 a=0$$

1. Якщо $a+1=0$, то рівняння вироджується в лінійне:

$$a=-1$$

2. Дослідимо випадок, коли дискримінант менший за 0:

$$D=b^2-4 a c$$


де:
$a=a+1, b=5 a, c=3 a$.

$$\begin{gathered} D=(5 a)^2-4(a+1)(3 a) \\ D=25 a^2-12 a^2-12 a \\ D=13 a^2-12 a \end{gathered}$$


Умова:

$$\begin{gathered} D<0 \\ a(13 a-12)<0 \end{gathered}$$


Розв'язуємо нерівність:
Корені рівняння:

$$a=0, \quad a=\frac{12}{13}$$


Знаки на проміжках:

$$a \in\left(0 ; \frac{12}{13}\right)$$


Відповідь:
1. $a \in(-2 ; 6)$.
2. $a=-1$ або $a \in\left(0 ; \frac{12}{13}\right)$.