Вправа 511 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №511
Умова: При яких значеннях $a$ рівняння має два різних корені:
1. $x^2-a x+(2 a-3)=0$;
2. $a x^2+(3 a-2) x+a=0$ ?

Розв'язання:
1) Рівняння:

$$x^2-a x+(2 a-3)=0$$


Рівняння має два різних корені, якщо дискримінант $D>0$.
Обчислимо дискримінант:

$$D=b^2-4 a c$$


де:

$$a=1, b=-a, c=2 a-3$$


$$\begin{gathered} D=(-a)^2-4(1)(2 a-3) \\ D=a^2-8 a+12 \end{gathered}$$


Розв'язуємо нерівність:

$$a^2-8 a+12>0$$


Знайдемо корені квадратного рівняння:

$$\begin{gathered} a=\frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{2} . \\ a=\frac{8 \pm 4}{2} . \\ a=6 \quad \text { i } \quad a=2 . \end{gathered}$$


Знаки на проміжках:
Розглядаємо знаки на інтервалах:

$$\begin{gathered} (a-6)(a-2)>0 \\ a \in(-\infty, 2) \cup(6,+\infty) \end{gathered}$$
2) Рівняння:

$$a x^2+(3 a-2) x+a=0 .$$

1. Спочатку розглянемо випадок, коли $a=0$ : У цьому випадку рівняння стає лінійним:

$$(3(0)-2) x+0=-2 x=0,$$


що має один корінь. Отже, $a \neq 0$.
2. Перевіримо умову $D>0$ :

$$D=b^2-4 a c$$


де:
$a=a, b=3 a-2, c=a$.

$$\begin{gathered} D=(3 a-2)^2-4(a)(a) . \\ D=\left(9 a^2-12 a+4\right)-4 a^2 . \\ D=5 a^2-12 a+4 . \end{gathered}$$


Розв'язуємо нерівність:

$$5 a^2-12 a+4>0$$


Знайдемо корені:

$$\begin{gathered} a=\frac{12 \pm \sqrt{144-80}}{2(5)} . \\ a=\frac{12 \pm \sqrt{64}}{10} . \\ a=\frac{12 \pm 8}{10} . \\ a=2 \quad \text { або } \quad a=0.4 . \end{gathered}$$


Знаки на проміжках:

$$\begin{gathered} (5 a-2)(a-2)>0 . \\ a \in(-\infty, 0.4) \cup(2,+\infty) \end{gathered}$$


Відповідь:
1. $a \in(-\infty, 2) \cup(6,+\infty)$.
2. $a \in(-\infty, 0.4) \cup(2,+\infty)$.