Вправа 511 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №511
Умова: При яких значеннях $a$ рівняння має два різних корені:
1. $x^2-a x+(2 a-3)=0$;
2. $a x^2+(3 a-2) x+a=0$ ? Розв'язання:
1) Рівняння: $$
x^2-a x+(2 a-3)=0
$$
Рівняння має два різних корені, якщо дискримінант $D>0$.
Обчислимо дискримінант: $$
D=b^2-4 a c
$$
де: $$
a=1, b=-a, c=2 a-3
$$
$$
\begin{gathered}
D=(-a)^2-4(1)(2 a-3) \\
D=a^2-8 a+12
\end{gathered}
$$
Розв'язуємо нерівність: $$
a^2-8 a+12>0
$$
Знайдемо корені квадратного рівняння: $$
\begin{gathered}
a=\frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{2} . \\
a=\frac{8 \pm 4}{2} . \\
a=6 \quad \text { i } \quad a=2 .
\end{gathered}
$$
Знаки на проміжках:
Розглядаємо знаки на інтервалах: $$
\begin{gathered}
(a-6)(a-2)>0 \\
a \in(-\infty, 2) \cup(6,+\infty)
\end{gathered}
$$
2) Рівняння: $$
a x^2+(3 a-2) x+a=0 .
$$ 1. Спочатку розглянемо випадок, коли $a=0$ : У цьому випадку рівняння стає лінійним: $$
(3(0)-2) x+0=-2 x=0,
$$
що має один корінь. Отже, $a \neq 0$.
2. Перевіримо умову $D>0$ : $$
D=b^2-4 a c
$$
де:
$a=a, b=3 a-2, c=a$. $$
\begin{gathered}
D=(3 a-2)^2-4(a)(a) . \\
D=\left(9 a^2-12 a+4\right)-4 a^2 . \\
D=5 a^2-12 a+4 .
\end{gathered}
$$
Розв'язуємо нерівність: $$
5 a^2-12 a+4>0
$$
Знайдемо корені: $$
\begin{gathered}
a=\frac{12 \pm \sqrt{144-80}}{2(5)} . \\
a=\frac{12 \pm \sqrt{64}}{10} . \\
a=\frac{12 \pm 8}{10} . \\
a=2 \quad \text { або } \quad a=0.4 .
\end{gathered}
$$
Знаки на проміжках: $$
\begin{gathered}
(5 a-2)(a-2)>0 . \\
a \in(-\infty, 0.4) \cup(2,+\infty)
\end{gathered}
$$
Відповідь:
1. $a \in(-\infty, 2) \cup(6,+\infty)$.
2. $a \in(-\infty, 0.4) \cup(2,+\infty)$.