Вправа 512 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №512
Умова: При яких значеннях $a$ рівняння:
1. $x^2-(a+1) x+9=0$ не має коренів:
2. $a x^2+(2 a-1) x+a=0$ має два різних корені?

Розв'язання:
1) Перше рівняння:

$$x^2-(a+1) x+9=0$$


Рівняння не має коренів, якщо дискримінант $D<0$.
Обчислимо дискримінант:

$$D=b^2-4 a c$$


де:

$$a=1, b=-(a+1), c=9$$


$$\begin{gathered} D=(-(a+1))^2-4(1)(9) \\ D=(a+1)^2-36 \end{gathered}$$


Умова відсутності коренів:

$$\begin{gathered} D<0 \\ (a+1)^2-36<0 \\ (a+1)^2<36 \end{gathered}$$


Розв'язуємо нерівність:

$$\begin{gathered} -6<a+1<6 . \\ -6-1<a<6-1 . \\ -7<a<5 . \end{gathered}$$
2) Друге рівняння:

$$a x^2+(2 a-1) x+a=0 .$$


Рівняння має два різних корені, якщо:
1. $a \neq 0$ (щоб рівняння не було лінійним).
2. $D>0$.

Обчислимо дискримінант:

$$D=b^2-4 a c$$


де:

$$a=a, b=2 a-1, c=a$$


$$\begin{gathered} D=(2 a-1)^2-4(a)(a) \\ D=\left(4 a^2-4 a+1\right)-4 a^2 \\ D=-4 a+1 \end{gathered}$$


Умова двох різних коренів: $_{\text {м }}$ о

$$\begin{gathered} D>0 \\ -4 a+1>0 \\ 1>4 a \\ a<\frac{1}{4} \end{gathered}$$


Також $a \neq 0$.