Вправа 513 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №513
Умова: При яких значеннях $m$ розв'язком нерівності є будь-яке число:
1. $x^2-(m+2) x+(8 m+1)>0$;
2. $m x^2-4 x+m+3<0$ ? Розв'язання:
1) Нерівність: $$
x^2-(m+2) x+(8 m+1)>0
$$
Умова: Нерівність має бути справедливою для будь-якого $x$.
Це можливо, якщо дискримінант рівняння дорівнює нулю або від'ємний ( $D \leq 0$ ). Обчислимо дискримінант: $$
D=b^2-4 a c
$$
де:
$a=1, b=-(m+2), c=8 m+1$. $$
\begin{gathered}
D=[-(m+2)]^2-4(1)(8 m+1) \\
D=(m+2)^2-4(8 m+1) \\
D=\left(m^2+4 m+4\right)-(32 m+4) \\
D=m^2-28 m
\end{gathered}
$$
Умова: $^{\text {м }}$ $$
\begin{gathered}
D \leq 0 \\
m(m-28) \leq 0
\end{gathered}
$$
Розв'язуємо нерівність:
Корені: $$
m=0, \quad m=28
$$
Знаки на інтервалах: $$
m \in[0 ; 28]$$
2) Нерівність: $$
m x^2-4 x+m+3<0 .
$$
Умова: Нерівність справедлива для будь-якого $x$.
Це можливо, якщо дискримінант менший за 0 ( $D<0$ ).
Обчислимо дискримінант: $$
D=b^2-4 a c
$$
де: $$
a=m, b=-4, c=m+3
$$
$$
\begin{gathered}
D=(-4)^2-4(m)(m+3) \\
D=16-4\left(m^2+3 m\right) \\
D=16-4 m^2-12 m \\
D=-4 m^2-12 m+16
\end{gathered}
$$
Умова: $^{\text {м }}$ $$
-4 m^2-12 m+16<0
$$
Поділимо на -4: $$
m^2+3 m-4>0
$$
Знайдемо корені: $$
\begin{gathered}
m=\frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{2} \\
m=\frac{-3 \pm 5}{2} \\
m=1 \quad \text { або } \quad m=-4
\end{gathered}
$$
Знаки на проміжках: $$
m \in(-\infty,-4) \cup(1,+\infty)
$$
Відповідь:
1. $m \in[0 ; 28]$.
2. $m \in(-\infty,-4) \cup(1,+\infty)$.