Вправа 513 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №513
Умова: При яких значеннях $m$ розв'язком нерівності є будь-яке число:
1. $x^2-(m+2) x+(8 m+1)>0$;
2. $m x^2-4 x+m+3<0$ ?

Розв'язання:
1) Нерівність:

$$x^2-(m+2) x+(8 m+1)>0$$


Умова: Нерівність має бути справедливою для будь-якого $x$.
Це можливо, якщо дискримінант рівняння дорівнює нулю або від'ємний ( $D \leq 0$ ).

Обчислимо дискримінант:

$$D=b^2-4 a c$$


де:
$a=1, b=-(m+2), c=8 m+1$.

$$\begin{gathered} D=[-(m+2)]^2-4(1)(8 m+1) \\ D=(m+2)^2-4(8 m+1) \\ D=\left(m^2+4 m+4\right)-(32 m+4) \\ D=m^2-28 m \end{gathered}$$


Умова: $^{\text {м }}$

$$\begin{gathered} D \leq 0 \\ m(m-28) \leq 0 \end{gathered}$$


Розв'язуємо нерівність:
Корені:

$$m=0, \quad m=28$$


Знаки на інтервалах:

$$m \in[0 ; 28]$$
2) Нерівність:

$$m x^2-4 x+m+3<0 .$$


Умова: Нерівність справедлива для будь-якого $x$.
Це можливо, якщо дискримінант менший за 0 ( $D<0$ ).
Обчислимо дискримінант:

$$D=b^2-4 a c$$


де:

$$a=m, b=-4, c=m+3$$


$$\begin{gathered} D=(-4)^2-4(m)(m+3) \\ D=16-4\left(m^2+3 m\right) \\ D=16-4 m^2-12 m \\ D=-4 m^2-12 m+16 \end{gathered}$$


Умова: $^{\text {м }}$

$$-4 m^2-12 m+16<0$$


Поділимо на -4:

$$m^2+3 m-4>0$$


Знайдемо корені:

$$\begin{gathered} m=\frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{2} \\ m=\frac{-3 \pm 5}{2} \\ m=1 \quad \text { або } \quad m=-4 \end{gathered}$$


Знаки на проміжках:

$$m \in(-\infty,-4) \cup(1,+\infty)$$


Відповідь:
1. $m \in[0 ; 28]$.
2. $m \in(-\infty,-4) \cup(1,+\infty)$.