Вправа 515 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №515
Умова: Доведіть, що $$
26 x^2-10 x+2 x y+y^2+2>0
$$
при будь-яких значеннях $x$ і $y$. Розв'язання:
Розглянемо квадратичний вираз: $$
Q(x, y)=26 x^2-10 x+2 x y+y^2+2
$$ 1. Аналіз квадратичної форми: Групуємо вираз для аналізу: $$
Q(x, y)=\left(26 x^2+2 x y+y^2\right)-10 x+2
$$
Розглянемо перші три доданки: $$
26 x^2+2 x y+y^2
$$
Запишемо як квадрат: $$
\left(26 x^2+2 x y+y^2\right)=(x+y)^2+25 x^2
$$
Це - сума квадратів, яка завжди невід'ємна.
2. Додаємо решту виразу: Додамо залишок: $$
Q(x, y)=(x+y)^2+25 x^2-10 x+2
$$
Розглянемо окремо члени: $$
25 x^2-10 x+2
$$
Обчислимо дискримінант: $$
D=(-10)^2-4(25)(2)=100-200=-100
$$
Оскільки дискримінант менший за 0, цей вираз завжди додатний.
3. Висновок: Усі частини виразу $Q(x, y)$ додатні, отже: $$
Q(x, y)>0
$$
при будь-яких значеннях $x$ і $y$. Відповідь:
Доведено, що дана нерівність виконується для будь-яких значень $x$ і $y$.