Вправа 515 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №515
Умова: Доведіть, що

$$26 x^2-10 x+2 x y+y^2+2>0$$


при будь-яких значеннях $x$ і $y$.

Розв'язання:
Розглянемо квадратичний вираз:

$$Q(x, y)=26 x^2-10 x+2 x y+y^2+2$$

1. Аналіз квадратичної форми:

Групуємо вираз для аналізу:

$$Q(x, y)=\left(26 x^2+2 x y+y^2\right)-10 x+2$$


Розглянемо перші три доданки:

$$26 x^2+2 x y+y^2$$


Запишемо як квадрат:

$$\left(26 x^2+2 x y+y^2\right)=(x+y)^2+25 x^2$$


Це - сума квадратів, яка завжди невід'ємна.
2. Додаємо решту виразу:

Додамо залишок:

$$Q(x, y)=(x+y)^2+25 x^2-10 x+2$$


Розглянемо окремо члени:

$$25 x^2-10 x+2$$


Обчислимо дискримінант:

$$D=(-10)^2-4(25)(2)=100-200=-100$$


Оскільки дискримінант менший за 0, цей вираз завжди додатний.
3. Висновок:

Усі частини виразу $Q(x, y)$ додатні, отже:

$$Q(x, y)>0$$


при будь-яких значеннях $x$ і $y$.

Відповідь:
Доведено, що дана нерівність виконується для будь-яких значень $x$ і $y$.