Вправа 522 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №522
Умова: Відомо, що числа $a, b$ і $\sqrt{a}+\sqrt{b} є$ раціональними. Чи можна стверджувати, що числа $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ теж раціональні? Розв'язання:
Нехай:
- $a$ і $b$ - раціональні числа,
- $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ - також раціональне число. Позначимо: $$
x=\sqrt{a}, \quad y=\sqrt{b}
$$
Тоді: $$
x+y \quad \text { е раціональним числом. }
$$
Розглянемо добуток: $$
x^2=a \quad \text { i } \quad y^2=b
$$
тобто $x$ і $y$ повинні бути алгебраїчними числами.
Перевірка:
Якщо припустити, що хоча 6 одне з чисел $x$ або $y$ ірраціональне, то їхня сума не може бути раціональною, оскільки сума ірраціонального та раціонального числа завжди ірраціональна. 3 умови випливає, що і $x$ і $y$ мають бути раціональними, адже їх сума є раціональною. Відповідь:
Так, числа $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ також $є$ раціональними.
Умова: Відомо, що числа $a, b$ і $\sqrt{a}+\sqrt{b} є$ раціональними. Чи можна стверджувати, що числа $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ теж раціональні? Розв'язання:
Нехай:
- $a$ і $b$ - раціональні числа,
- $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ - також раціональне число. Позначимо: $$
x=\sqrt{a}, \quad y=\sqrt{b}
$$
Тоді: $$
x+y \quad \text { е раціональним числом. }
$$
Розглянемо добуток: $$
x^2=a \quad \text { i } \quad y^2=b
$$
тобто $x$ і $y$ повинні бути алгебраїчними числами.
Перевірка:
Якщо припустити, що хоча 6 одне з чисел $x$ або $y$ ірраціональне, то їхня сума не може бути раціональною, оскільки сума ірраціонального та раціонального числа завжди ірраціональна. 3 умови випливає, що і $x$ і $y$ мають бути раціональними, адже їх сума є раціональною. Відповідь:
Так, числа $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ також $є$ раціональними.
