Вправа 531 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №531
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
1. $$
\left\{\begin{array}{l}
y-x=1 \\
x y=12
\end{array}\right.
$$ 2. $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
x^2+y^2=25
\end{array}\right.
$$ 3. $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3 \\
x^2-y^2=3
\end{array}\right.
$$ 4. $$
\left\{\begin{array}{l}
y+2 x=3 \\
x^2+y^2=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
Розв'яжемо всі системи рівнянь послідовно. Почнемо з першої системи.
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
x^2+y^2=25
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $x=y+1$.
2. Підставимо $x=y+1$ у друге рівняння: $$
(y+1)^2+y^2=25
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
y^2+2 y+1+y^2=25 \\
2 y^2+2 y+1=25
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
2 y^2+2 y-24=0 \\
y^2+y-12=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1 \pm 7}{2} \\
y_1=3, \quad y_2=-4
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=3: x=3+1=4$.
- Якщо $y=-4: x=-4+1=-3$. Відповідь: $$
(x, y)=(4,3),(-3,-4)
$$
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3 \\
x^2-y^2=3
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3-x$.
2. Підставимо $y=3-x$ у друге рівняння: $$
x^2-(3-x)^2=3
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
x^2-\left(9-6 x+x^2\right)=3 \\
x^2-9+6 x-x^2=3
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
6 x-9=3 . \\
6 x=12 \\
x=2
\end{gathered}
$$ 5. Знаходимо $y$ : $$
y=3-2=1
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(2,1)
$$
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
y+2 x=3 \\
x^2+y^2=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3-2 x$.
2. Підставимо $y=3-2 x$ у друге рівняння: $$
x^2+(3-2 x)^2=5
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
x^2+\left(9-12 x+4 x^2\right)=5 \\
x^2+9-12 x+4 x^2=5
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
5 x^2-12 x+9-5=0 \\
5 x^2-12 x+4=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5} \\
x=\frac{12 \pm \sqrt{144-80}}{10} . \\
x=\frac{12 \pm \sqrt{64}}{10} . \\
x=\frac{12 \pm 8}{10} . \\
x_1=2, \quad x_2=0.4 .
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=2: y=3-2 \cdot 2=-1$.
- Якщо $x=0.4: y=3-2 \cdot 0.4=2.2$. Відповідь: $$
(x, y)=(2,-1),(0.4,2.2)
$$
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
1. $$
\left\{\begin{array}{l}
y-x=1 \\
x y=12
\end{array}\right.
$$ 2. $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
x^2+y^2=25
\end{array}\right.
$$ 3. $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3 \\
x^2-y^2=3
\end{array}\right.
$$ 4. $$
\left\{\begin{array}{l}
y+2 x=3 \\
x^2+y^2=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
Розв'яжемо всі системи рівнянь послідовно. Почнемо з першої системи.
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
x^2+y^2=25
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $x=y+1$.
2. Підставимо $x=y+1$ у друге рівняння: $$
(y+1)^2+y^2=25
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
y^2+2 y+1+y^2=25 \\
2 y^2+2 y+1=25
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
2 y^2+2 y-24=0 \\
y^2+y-12=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1 \pm 7}{2} \\
y_1=3, \quad y_2=-4
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=3: x=3+1=4$.
- Якщо $y=-4: x=-4+1=-3$. Відповідь: $$
(x, y)=(4,3),(-3,-4)
$$
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=3 \\
x^2-y^2=3
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3-x$.
2. Підставимо $y=3-x$ у друге рівняння: $$
x^2-(3-x)^2=3
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
x^2-\left(9-6 x+x^2\right)=3 \\
x^2-9+6 x-x^2=3
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
6 x-9=3 . \\
6 x=12 \\
x=2
\end{gathered}
$$ 5. Знаходимо $y$ : $$
y=3-2=1
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(2,1)
$$
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
y+2 x=3 \\
x^2+y^2=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3-2 x$.
2. Підставимо $y=3-2 x$ у друге рівняння: $$
x^2+(3-2 x)^2=5
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
x^2+\left(9-12 x+4 x^2\right)=5 \\
x^2+9-12 x+4 x^2=5
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
5 x^2-12 x+9-5=0 \\
5 x^2-12 x+4=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5} \\
x=\frac{12 \pm \sqrt{144-80}}{10} . \\
x=\frac{12 \pm \sqrt{64}}{10} . \\
x=\frac{12 \pm 8}{10} . \\
x_1=2, \quad x_2=0.4 .
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=2: y=3-2 \cdot 2=-1$.
- Якщо $x=0.4: y=3-2 \cdot 0.4=2.2$. Відповідь: $$
(x, y)=(2,-1),(0.4,2.2)
$$
