Вправа 531 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №531
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
1.

$$\left\{\begin{array}{l} y-x=1 \\ x y=12 \end{array}\right.$$

2.

$$\left\{\begin{array}{l} x-y=1 \\ x^2+y^2=25 \end{array}\right.$$

3.

$$\left\{\begin{array}{l} x+y=3 \\ x^2-y^2=3 \end{array}\right.$$

4.

$$\left\{\begin{array}{l} y+2 x=3 \\ x^2+y^2=5 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
Розв'яжемо всі системи рівнянь послідовно. Почнемо з першої системи.
Система №2:

$$\left\{\begin{array}{l} x-y=1 \\ x^2+y^2=25 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $x=y+1$.
2. Підставимо $x=y+1$ у друге рівняння:

$$(y+1)^2+y^2=25$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{gathered} y^2+2 y+1+y^2=25 \\ 2 y^2+2 y+1=25 \end{gathered}$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 2 y^2+2 y-24=0 \\ y^2+y-12=0 \end{gathered}$$

5. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1 \pm 7}{2} \\ y_1=3, \quad y_2=-4 \end{gathered}$$

6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=3: x=3+1=4$.
- Якщо $y=-4: x=-4+1=-3$.

Відповідь:

$$(x, y)=(4,3),(-3,-4)$$
Система №3:

$$\left\{\begin{array}{l} x+y=3 \\ x^2-y^2=3 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3-x$.
2. Підставимо $y=3-x$ у друге рівняння:

$$x^2-(3-x)^2=3$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{gathered} x^2-\left(9-6 x+x^2\right)=3 \\ x^2-9+6 x-x^2=3 \end{gathered}$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 6 x-9=3 . \\ 6 x=12 \\ x=2 \end{gathered}$$

5. Знаходимо $y$ :

$$y=3-2=1$$


Відповідь:

$$(x, y)=(2,1)$$
Система №4:

$$\left\{\begin{array}{l} y+2 x=3 \\ x^2+y^2=5 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3-2 x$.
2. Підставимо $y=3-2 x$ у друге рівняння:

$$x^2+(3-2 x)^2=5$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{gathered} x^2+\left(9-12 x+4 x^2\right)=5 \\ x^2+9-12 x+4 x^2=5 \end{gathered}$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 5 x^2-12 x+9-5=0 \\ 5 x^2-12 x+4=0 \end{gathered}$$

5. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} x=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5} \\ x=\frac{12 \pm \sqrt{144-80}}{10} . \\ x=\frac{12 \pm \sqrt{64}}{10} . \\ x=\frac{12 \pm 8}{10} . \\ x_1=2, \quad x_2=0.4 . \end{gathered}$$

6. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=2: y=3-2 \cdot 2=-1$.
- Якщо $x=0.4: y=3-2 \cdot 0.4=2.2$.

Відповідь:

$$(x, y)=(2,-1),(0.4,2.2)$$