Вправа 532 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №532
Умова: Знайдіть розв'язки системи рівнянь:
Система 1
$$
\left\{\begin{array}{l}
y-x=2 \\
x y=8
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння: $$
y=x+2
$$ 2. Підставимо в друге рівняння: $$
\begin{gathered}
x(x+2)=8 \\
x^2+2 x-8=0
\end{gathered}
$$ 3. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-8)}}{2(1)} \\
x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2} \\
x=\frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \\
x=\frac{-2 \pm 6}{2}
\end{gathered}
$$
Розв'язки: $$
x=2 \quad \text { або } \quad x=-4
$$ 4. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=2$, то $y=2+2=4$.
- Якщо $x=-4$, то $y=-4+2=-2$. Відповідь: $$
(2,4),(-4,-2)
$$
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
x^2+y^2=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $x=y+1$.
2. Підставимо $x=y+1$ у друге рівняння: $$
(y+1)^2+y^2=5
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
y^2+2 y+1+y^2=5 \\
2 y^2+2 y+1=5
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
2 y^2+2 y-4=0 \\
y^2+y-2=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2} \\
y_1=1, \quad y_2=-2
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=1: x=1+1=2$.
- Якщо $y=-2: x=-2+1=-1$. Відповідь: $$
(x, y)=(2,1),(-1,-2)
$$
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=2 \\
y^2-x^2=4
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=2-x$.
2. Підставимо $y=2-x$ у друге рівняння: $$
(2-x)^2-x^2=4
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
4-4 x+x^2-x^2=4
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
4-4 x=4 \\
-4 x=0 \\
x=0
\end{gathered}
$$ 5. Знаходимо $y$ : $$
y=2-0=2
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(0,2)
$$
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
y-3 x=1 \\
x^2+y^2=53
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3 x+1$.
2. Підставимо $y=3 x+1$ у друге рівняння: $$
x^2+(3 x+1)^2=53
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
x^2+\left(9 x^2+6 x+1\right)=53 \\
x^2+9 x^2+6 x+1=53 \\
10 x^2+6 x+1=53
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
10 x^2+6 x-52=0 \\
5 x^2+3 x-26=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 5 \cdot(-26)}}{2 \cdot 5} . \\
x=\frac{-3 \pm \sqrt{9+520}}{10} . \\
x=\frac{-3 \pm \sqrt{529}}{10} . \\
x=\frac{-3 \pm 23}{10} . \\
x_1=2, \quad x_2=-2.6 .
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=2: y=3 \cdot 2+1=7$.
- Якщо $x=-2.6: y=3 \cdot(-2.6)+1=-7.8$. Відповідь: $$
(x, y)=(2,7),(-2.6,-7.8)
$$
\left\{\begin{array}{l}
y-x=2 \\
x y=8
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння: $$
y=x+2
$$ 2. Підставимо в друге рівняння: $$
\begin{gathered}
x(x+2)=8 \\
x^2+2 x-8=0
\end{gathered}
$$ 3. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-8)}}{2(1)} \\
x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2} \\
x=\frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \\
x=\frac{-2 \pm 6}{2}
\end{gathered}
$$
Розв'язки: $$
x=2 \quad \text { або } \quad x=-4
$$ 4. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=2$, то $y=2+2=4$.
- Якщо $x=-4$, то $y=-4+2=-2$. Відповідь: $$
(2,4),(-4,-2)
$$
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
x^2+y^2=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $x=y+1$.
2. Підставимо $x=y+1$ у друге рівняння: $$
(y+1)^2+y^2=5
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
y^2+2 y+1+y^2=5 \\
2 y^2+2 y+1=5
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
2 y^2+2 y-4=0 \\
y^2+y-2=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2} \\
y_1=1, \quad y_2=-2
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=1: x=1+1=2$.
- Якщо $y=-2: x=-2+1=-1$. Відповідь: $$
(x, y)=(2,1),(-1,-2)
$$
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=2 \\
y^2-x^2=4
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=2-x$.
2. Підставимо $y=2-x$ у друге рівняння: $$
(2-x)^2-x^2=4
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
4-4 x+x^2-x^2=4
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
4-4 x=4 \\
-4 x=0 \\
x=0
\end{gathered}
$$ 5. Знаходимо $y$ : $$
y=2-0=2
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(0,2)
$$
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
y-3 x=1 \\
x^2+y^2=53
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3 x+1$.
2. Підставимо $y=3 x+1$ у друге рівняння: $$
x^2+(3 x+1)^2=53
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
x^2+\left(9 x^2+6 x+1\right)=53 \\
x^2+9 x^2+6 x+1=53 \\
10 x^2+6 x+1=53
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
10 x^2+6 x-52=0 \\
5 x^2+3 x-26=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 5 \cdot(-26)}}{2 \cdot 5} . \\
x=\frac{-3 \pm \sqrt{9+520}}{10} . \\
x=\frac{-3 \pm \sqrt{529}}{10} . \\
x=\frac{-3 \pm 23}{10} . \\
x_1=2, \quad x_2=-2.6 .
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=2: y=3 \cdot 2+1=7$.
- Якщо $x=-2.6: y=3 \cdot(-2.6)+1=-7.8$. Відповідь: $$
(x, y)=(2,7),(-2.6,-7.8)
$$
