Вправа 532 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №532

Умова: Знайдіть розв'язки системи рівнянь:

Система 1

$$\left\{\begin{array}{l} y-x=2 \\ x y=8 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:

$$y=x+2$$

2. Підставимо в друге рівняння:

$$\begin{gathered} x(x+2)=8 \\ x^2+2 x-8=0 \end{gathered}$$

3. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-8)}}{2(1)} \\ x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2} \\ x=\frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \\ x=\frac{-2 \pm 6}{2} \end{gathered}$$


Розв'язки:

$$x=2 \quad \text { або } \quad x=-4$$

4. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=2$, то $y=2+2=4$.
- Якщо $x=-4$, то $y=-4+2=-2$.

Відповідь:

$$(2,4),(-4,-2)$$
Система №2:

$$\left\{\begin{array}{l} x-y=1 \\ x^2+y^2=5 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $x=y+1$.
2. Підставимо $x=y+1$ у друге рівняння:

$$(y+1)^2+y^2=5$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{gathered} y^2+2 y+1+y^2=5 \\ 2 y^2+2 y+1=5 \end{gathered}$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 2 y^2+2 y-4=0 \\ y^2+y-2=0 \end{gathered}$$

5. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2} \\ y_1=1, \quad y_2=-2 \end{gathered}$$

6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=1: x=1+1=2$.
- Якщо $y=-2: x=-2+1=-1$.

Відповідь:

$$(x, y)=(2,1),(-1,-2)$$
Система №3:

$$\left\{\begin{array}{l} x+y=2 \\ y^2-x^2=4 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=2-x$.
2. Підставимо $y=2-x$ у друге рівняння:

$$(2-x)^2-x^2=4$$

3. Розкриваємо дужки:

$$4-4 x+x^2-x^2=4$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 4-4 x=4 \\ -4 x=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

5. Знаходимо $y$ :

$$y=2-0=2$$


Відповідь:

$$(x, y)=(0,2)$$
Система №4:

$$\left\{\begin{array}{l} y-3 x=1 \\ x^2+y^2=53 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $y=3 x+1$.
2. Підставимо $y=3 x+1$ у друге рівняння:

$$x^2+(3 x+1)^2=53$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{gathered} x^2+\left(9 x^2+6 x+1\right)=53 \\ x^2+9 x^2+6 x+1=53 \\ 10 x^2+6 x+1=53 \end{gathered}$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 10 x^2+6 x-52=0 \\ 5 x^2+3 x-26=0 \end{gathered}$$

5. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 5 \cdot(-26)}}{2 \cdot 5} . \\ x=\frac{-3 \pm \sqrt{9+520}}{10} . \\ x=\frac{-3 \pm \sqrt{529}}{10} . \\ x=\frac{-3 \pm 23}{10} . \\ x_1=2, \quad x_2=-2.6 . \end{gathered}$$

6. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=2: y=3 \cdot 2+1=7$.
- Якщо $x=-2.6: y=3 \cdot(-2.6)+1=-7.8$.

Відповідь:

$$(x, y)=(2,7),(-2.6,-7.8)$$